2019-2020年江苏专用高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.3导数在实际问题中的应用及综合应用.ppt

高考数学(江苏省专用)(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?
 所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
V锥= ·A1 ·PO1= ×62×2=24(m3);
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).
(2)设A1B1=am,PO1=hm,则0<h<6,O1O=4hm.连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中,O1 +P =P ,
所以 +h2=36,
即a2=2(36-h2).于是仓库的容积
V=V柱+V锥=a2·4h+ a2·h= a2h= (36h-h3)(m3),其中0<h<6,
从而V'= (36-3h2)=26(12-h2).
令V'=0,得h=2 或h=-2 (舍).
当0<h<2 时,V'>0,V是单调增函数;
当2 <h<6时,V'<0,V是单调减函数.
故h=2 时,V取得极大值,也是最大值.
因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大.考点导数在实际问题中的应用及综合应用
1.(2015课标Ⅰ改编,12,5分)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是.解析由f(x0)<0,即 (2x0-1)-a(x0-1)<0得 (2x0-1)<a(x0-1).当x0=1时,得e<0,显然不成立,所以x0≠
1.
若x0>1,则a> .
令g(x)= ,则g'(x)= .
当x∈ 时,g'(x)<0,g(x)为减函数,
当x∈ 时,g'(x)>0,g(x)为增函数,
要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)<a≤g(3),得3e2<a≤ e3,与a<1矛盾,所以x0<1.
因为x0<1,所以a< .
易知,当x∈(-∞,0)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,
要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)≤a<g(0),评析本题主要考查导数的应用及分类讨论思想,分离参变量是解决本题的关键,本题综合性较强,属难题.解析设f(x)=x3+ax+b.
当a=-3,b=-3时,f(x)=x3-3x-3,f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,得x>1或x<-1;令f'(x)<0,得-1<x<1,故f(x)在(-∞,-1)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,又f(-1)=-1,f(1)=-5,f(3)=15,故方程f(x)=0只有一个实根,故①正确.
当a=-3,b=2时,f(x)=x3-3x+2,易知f(x)在(-∞,-1)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,又f(-1)=4,f(1)=0,x→-∞时,f(x)→-∞,从而方程f(x)=0有两个根,故②错.
当a=-3,b>2时,f(x)=x3-3x+b,易知f(x)的极大值为f(-1)=2+b>0,极小值为f(1)=b-2>0,x→-∞时,f(x)→-∞,故方程f(x)=0有且仅有一个实根,故③正确.
当a=0,b=2时,f(x)=x3+2,显然方程f(x)=0有且仅有一个实根,故④正确.
当a=1,b=2时,f(x)=x3+x+2,f'(x)=3x2+1>0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,易知f(x)的值域为R,故f(x)=0有且仅有一个实根,故⑤正确.
综上,正确条件的编号有①③④⑤.3.(2017课标全国Ⅲ文,21,12分)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤- -2.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= +2ax+2a+1= .
若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.
若a<0,则当x∈ 时,f'(x)>0;
当x∈ 时,f'(x)<0,
故f(x)在 单调递增,在 单调递减.
(2)由(1)知,当a<0时,f(x)在x=- 取得最大值,最大值为f =ln -1- .
所以f(x)≤- -2等价于ln -1- ≤- -2,即ln + +1≤0.
设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)= -1.
当x∈(0,1)时,g‘(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g’(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递