2019届江苏专用高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.1导数的概念及几何意义导数的运算讲义.ppt

高考数学(江苏省专用)(2014江苏,11,5分,0.77)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲
线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.考点一导数的概念及几何意义
1.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为.2.(2017天津文改编,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.3.(2016课标全国Ⅲ理,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.4.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.5.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐
标为.考点二导数的运算
1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为.解析解法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.
又f'(0)=1-a=-1,得a=2.
所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.
令f'(x)=0,得x=ln2.
当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,
且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,
f(x)无极大值.
(2)令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.
由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln2)>0,
故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,
因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.
(3)①若c≥1,则ex≤cex.又由(2)知,当x>0时,x2<ex.
所以当x>0时,x2<cex.取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.
②若0<c<1,令k= >1,要使不等式x2<cex成立,只要ex>kx2成立.
而要使ex>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2lnx+lnk成立.
令h(x)=x-2lnx-lnk,则h'(x)=1- = ,
所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.
取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,
又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k,
易知k>lnk,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.
即存在x0= ,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.
综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.
解法二:(1)同解法一.
(2)同解法一.
(3)对任意给定的正数c,取x0= ,由(2)知,当x>0时,ex>x2,所以ex= · >  ,
当x>x0时,ex>  >  = x2,
因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.
解法三:(1)同解法一.
(2)同解法一.
(3)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有 x3<ex.
证明如下:
令h(x)= x3-ex,则h'(x)=x2-ex.
由(2)知,当x>0时,x2<ex,
从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)内单调递减,
所以h(x)<h(0)=-1<0,即 x3<ex.
取x0= ,当x>x0时,有 x2< x3<ex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.
注:对c的分类可有不同的方式,只要解法正确,均相应给分.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1- .
(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f'(x)=1- (x>0),
因而f(1)=1,f'(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f'(x)=1- = ,x>0知:
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.1.(2013广东理,10,5分)若曲