二次函数和幂函数知识点218.pdf

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教学内容

二次函数与幂函数

1．二次函数的定义与解析式
(1)二次函数的定义
形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．
(2)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．

2．二次函数的图像和性质
f(x)＝ax2＋bx＋cf(x)＝ax2＋bx＋c
解析式
(a>0)(a<0)

图像

定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)
4ac－b24ac－b2
值域，＋∞－∞，
[4a)(4a]
bb
－∞，－－∞，－
在x∈(2a]上单调递减；在x∈(2a]上单调递增；
单调性
bb
－，＋∞－，＋∞
在x∈[2a)上单调递增在x∈[2a)上单调递减
奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数

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b4ac－b2
顶点－，
(2a4a)
b
对称性
图像关于直线x＝－2a成轴对称图形

3.幂函数
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
4．幂函数的图像及性质
(1)幂函数的图像比较

(2)幂函数的性质比较
1
23－1
y＝xy＝xy＝xy＝x2y＝x

{x|x∈R且
定义域RRR[0，＋∞)
x≠0}

{y|y∈R且
值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)
y≠0}
非奇非偶函
奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数
数

x∈[0，＋∞)x∈(0，＋∞)
时，增；时，减；
单调性增增增
x∈(－∞，0]x∈(－∞，0)
时，减时，减

[难点正本疑点清源]
1．二次函数的三种形式
(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．
(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．
(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．
2．幂函数的图像
(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越
远离x轴．

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1
(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．

1．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为____________．
答案(－∞，－2]
解析f(x)的图像的对称轴为x＝1－a且开口向上，

∴1－a≥3，即a≤－2.
2．(课本改编题)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为
________．
答案[1,2]
解析y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.
当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．

2
∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m－2m＋3＝2.
∴m＝1，无解．

2
当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝1－2×1＋3＝2，

ymax＝f(0)＝3.

2
当m>2时，ymax＝f(m)＝m－2m＋3＝3，

∴m＝0，m＝2，无解．∴1≤m≤2.
3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不经过原点，则实数m的值为________．
答案1或2

解析由Error!，解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合．
4．(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图
1次为
2
____________像．已知n取．±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依
11
答案2，2，－2，－2
解析可以根据函数图像是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值．
5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是()
A．m＝－2B．m＝2
C．m＝－1D．m＝1
答案A
mm
解析函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－2，且只有一条对称轴，所以－2＝1，即
m＝－2.

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题型一求二次函数的解析式

例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．
思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．

解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

依题意有Error!解之，得Error!
∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，
2＋－111
∴抛物线对称轴为x＝2＝2.∴m＝2.
又根据题意函数有最大值为n＝8，
1
x－
∴y＝f(x)＝a(2)2＋8.
1
2－
∵f(2)＝－1，∴a(2)