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泛函分析课程总结
数学与计算科学学院09数本5班符翠艳2009224524序号：26
一．知识总结
度量空间和赋范线性空间
度量空间的定义：设是一个集合，若对于中任意两个元素，都有唯一确定的实数与之相对应，而且满足
则称为上的一个度量函数，（）为度量空间，为两点间的度量。
度量空间的例子
=1\*GB3①离散的度量空间
设是任意的非空集合，对中任意两点,令

=2\*GB3②序列空间S
令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点，令

=3\*GB3③有界函数空间B（A）
设A是一给定的集合，令B（A）表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B（A）中任意两点，定义

=4\*GB3④可测函数空间m(X)
设m(X)为X上实值（或复值）的L可测函数全体，m为L测度，若，对任意两个可测函数，令

=5\*GB3⑤空间
令表示闭区间上实值（或复值）连续函数的全体，对中任意两点，定义

=6\*GB3⑥空间
记，设，，定义

注：度量空间中距离的定义是关键。
3.度量空间中的极限，稠密集，可分空间
3.1收敛点列和极限
定义：设是中的点列，如果存在,使，则称点列是中的收敛点列，是点列的极限。
注：1.度量空间中的收敛点列的极限是唯一的。
2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致（依坐标收敛，一致收敛。依测度收敛等）
3.2度量空间中稠密子集和可分度量空间
定义：设是度量空间，和是中两个自己，令表示的闭包，如果,那么称在集中稠密，当=时称是的一个稠密子集。如果由一个可数的稠密子集，则称是可分空间。
注：1.若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密。
2.欧氏空间Rn、空间C[a,b]、空间是可分的。
3.不可分。
4.完备度量空间
4.1柯西点列
定义：设是度量空间，是中的点列，如果对任意给定的正数，存在正整数,使当n,m>N时，必有

则称是中的柯西点列。那么称是完备的度量空间。
4.2完备度量空间的例子
=1\*GB3①是完备度量空间
=2\*GB3②C是完备度量空间
=3\*GB3③是完备度量空间
4.3定理的证明
定理：完备度量空间的子空间是完备空间的充要条件为是中的闭子空间。
证明：设是完备子空间，对每个，存在中点列，使，由前述，是中的柯西点列，所以在中收敛，有极限的唯一性可知，即,，所以，因此是中的闭子空间。
5.度量空间的完备化
5.1等距同构映射
定义：设，是两个度量空间，如果存在到上的保距映射T，即，则称和等距同构，T称为到上的等距同构映射。
5.2度量空间的完备化定理
定理：设是度量空间，那么一定都一定存在一个完备空间，使与的某个稠密子空间等距同构。并且在等距同构的意义下时唯一的，即也是一完备度量空间，且与的某个稠密子空间等距同构，则与等距同构。
注：任一度量空间都存在唯一的完备度量空间，使为的稠密子空间。
6.压缩映射
6.1压缩映射
定义：设是度量空间，T是到中的映射，如果存在一个数，，使得对所有的，
（1）
则称T是压缩映射
6.2压缩映射定理
定理：设是完备的度量空间，T是上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。
证明：设是中任意一点，令，。我们证明点列是中柯西点列，事实上，

（2）

由三点不等式，当n>m时，

因，所以，于是得到
（n>m）(3)
所以当时，，即是中柯西点列，由完备，存在，使，又由三点不等式和条件（1），我们有

上面不等式右端当时趋于0，所以即
下证唯一性。如果又有使,则由条件（1），

因，所以必有，即。
注：1.是完备的度量空间2.T是压缩映射
3.压缩定理可以推导出隐函数存在定理
4.压缩映射原理可以证明常微分方程解得存在性和唯一性定理
7.赋范线性空间和巴拿赫空间
7.1赋范线性空间
定义：设是实（或复）的线性空间，如果对每个向量，有一个确定的实数，记为与之对应，并满足

则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间。
设是中点列，如果存在，使，则称依范数收敛于，记为。如果令

即依范数收敛于等价于按距离收敛于，称为由范数导出的距离。
注：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间
7.2几种常见的巴拿赫空间
=1\*GB3①欧式空间
对每一个，定义范数
（1）
又因完备，是中范数。故按（1）式中范数成为巴拿赫空间。
=2\*GB3②空间
对每一个，定义
（2）
按（2）式中的范数成为巴拿赫空间。
=3\*GB3③空间
对每一个，定义
（3）
按（3）式中的范数成为巴拿赫空间。
=4\*GB3④空间
对于每个，定义
（4）
按（4）式中的范数成为巴拿赫空间。
=5\*GB3⑤空间
对每一个，定义
（5）

按（5）式中的范数成为巴拿赫空间。
7.