等差数列知识点总结及练习(学生版).doc

等差数列知识点总结
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p.
3．等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝eq\f(x＋y,2).
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝eq\f(na1＋an,2)，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．最值问题
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
①＋②得：Sn＝eq\f(na1＋an,2).
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

回顾：
1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）
A．B．1C．D．﹣12．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）
A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（）
A．23B．24C．25D．264．两个数1与5的等差中项是（）
A．1B．3C．2D．5．（2005•黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（）
A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点1:等差数列的通项与前n项和
题型1：已知等差数列的某些项，求某项
【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法
【例1】已知为等差数列，，则

对应练习：1、已知为等差数列，（互不相等），求.

2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.

题型2：已知前项和及其某项，求项数.
【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数；
⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.
【例2】已知为等差数列的前项和，，求

对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.

4.已知为等差数列的前项和，，则.
题型3：求等差数列的前n项和
【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.
（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.
【例3】已知为等差数列的前项和，.
（1）；
⑵求；
⑶求.

对应练习：5、已知为等差数列的前项和，，求.

考点2：证明数列是等差数列
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有