高中导数经典知识点及例题讲解(良心出品必属).doc

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§1.1变化率与导数
1.1.1变化率问题

自学引导

1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．
2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率.
课前热身
函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝________.
2．平均变化率另一种表示形式：设Δx＝x－x0，则eq\f(Δy,Δx)＝________，表示函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率.

名师讲解
1.如何理解Δx，Δy的含义
Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f(x2)－f(x1)．
2．求平均变化率的步骤
求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率．
(1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).

对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，eq\f(π,2)]上的平均变化率为eq\f(sin\f(π,2)－sin0,\f(π,2)－0)＝eq\f(2,π).
在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.

题型一求函数的平均变化率
例1一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求t＝0到t＝1的平均速度．
分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商eq\f(ΔS,Δt)就可以得到平均速度．
解(1)由于v＝eq\f(S,t)＝eq\f(3t－t2,t)＝3－t.
∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．
(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2
Δt＝1－0＝1
∴eq\x\to(v)＝eq\f(ΔS,Δt)＝eq\f(2,1)＝2.
∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.

误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.

变式训练1已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)＝()
A．3 B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2 D．3－Δx

解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)
＝－(Δx)2＋3Δx.
∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－Δx2＋3Δx,Δx)＝－Δx＋3
答案D

题型二平均变化率的快慢比较
例2求正弦函数y＝sinx在0到eq\f(π,6)之间及eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之间的平均变化率．并比较大小．
分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
解设y＝sinx在0到eq\f(π,6)之间的变化率为k1，则
k1＝eq\f(sin\f(π,6)－sin0,\f(π,6)－0)＝eq\f(3,π).
y＝sinx在eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之间的平均变化率为k2，
则k2＝eq\f(sin\f(π,2)－sin\f(π,3),\f(π,2)－\f(π,3))＝eq\f(1－\f(\r(3),2),\f(π,6))＝eq\f(32－\r(3),π).
∵k1－k2＝eq\f(3,π)－eq\f(32－\r(3),π)＝eq\f(3\r(3)－1,π)>0，
∴k1>k2.
答：函数y＝sinx在0到eq\f(π,6)之间的平均变化率为eq\f(3,π)，在eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之间的平均变化率为eq\f(32－\r(3),π)，且eq\f(3,π)>eq\f(32－\r(3),π).
变式训练2试比较余弦函数y＝cosx在0到eq\f(π,3)之间和eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之间的平均变化率的大小．
解设函数y＝cosx在0到eq\f(π,3)之间的平均变化率是k1，则k1＝eq\f(cos\f(π,3)－cos0,\f(π,3)－0)＝－eq\f(3,2π).
函数y＝cosx在eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之间的平均变化率是k2