数值分析笔记期末复习汇总.doc

第一章引论
1、数值分析研究对象：
数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
2、数值分析特点：
①面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法②有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性③要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。④要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
3、数值分析实质：
是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及理论。
4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程
实际问题--数学模型（应用数学）--数值计算方法--程序设计--上机计算结果（计算数学）
5、误差来源及分类
1.模型误差——从实际问题中抽象出数学模型
2.观测误差——通过测量得到模型中参数的值（通常根据测量工具的精度，可以知道
这类误差的上限值。）
3.截断误差——当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产
生的误差称为（截断误差）或（方法误差）
4.舍入误差——由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产
生误差，这样产生的误差称为舍入误差
6、五个关于误差的概念
1.绝对误差2.绝对误差限3.相对误差4.相对误差限（1）定义：
设某一量的准确值为x，近似值为x*，则x*与x之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为
（2）性质：
(1)绝对误差e(x*)可正可负(2)|e(x*)|的大小标志着x*的精确度(3)绝对误差e(x*)未知
（3）判断：
绝对误差是误差的绝对值？（错）
（1）定义：
若指定一个适当小的正数，使则称为近似值x*的绝对误差限。(有时用表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。
)
（2）性质：
(1)在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的，绝对误差限也是有量纲的。
(2)绝对误差限是正的，有无穷多个【则比大的任意正数均是绝对误差
限】
（1）定义：
绝对误差与准确值之比称为x*的相对
误差。
（2）性质：
(1)相对误差是个无量纲量。值小者精度高。
(2)由于准确值x未知，故实际问题中，当||较小时，常取

（1）定义：
若指定一个适当小的正数，使则称为近似值x*的相对误差限。
（2）性质：
当|较小时，可用下式计算

5.有效数字
（1）定义：若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位。注意：近似值后面的零不能随便省去！
（2）例题：取x1*=3作为π的近似值，则：一个有效数字
取x2*=3.14作为π的近似值，则：三个有效数字
取x3*=3.1416作为π的近似值，则：五个有效数字
它们的误差都不超过末位数字的半个单位。
（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小
(2)有效数字越多，则相对误差越小
有效数字的位数可刻画近似数的精确度！
6、一元函数的误差估计
问题：设y=f(x)，x的近似值为x*，则y的近似值y*的误差如何计算？
因为无法知道准确值，所以尽量用近似值
代替准确值。

故相应的误差限计算如下

7、二元函数的误差估计
问题：设y=f(x1,x2)，x1,x2的近似值为x1*,x2*，则y的误差如何计0算？

故绝对误差限为

8、多元函数的误差估计

9、加减乘除运算的误差估计
加法减法乘法除法绝对误差绝对误差限相对误差相对误差限10、算法的数值稳定性概念及运算
（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称该算法具有较好的数值稳定性
11、设计算法的五个原则
(一)要避免相近两数相减

(二)要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要数据

求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，结果的相对误差限较小

(三)注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）

(四)要避免绝对值小的数作除数

(五)设法控制误差的传播
许多算法具有递推性。递推法运算过程较规律，但多次递推必然导致误差的积累。

第二章逼近问题
1，函数逼近
1、插值问题：求一条曲线严格通过数据点
2、曲线拟合问题：求一条曲线在一定意义下靠近数据点
2，插值问题
1、定义：
求一个简单函数φ(x)作为f(x)的近似表达式，以满足
我们称这样的问题为插值问题；并称φ(x)为f(x)的插值函数；f(x)为被插函数，x0,x1,x2,…,xn是插值节