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高考文科数学导数专题复习
第1讲变化率与导数、导数的计算
知识梳理
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).
(2)函数f(x)的导函数f′(x)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数.
2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：
考点一导数的计算
【例1】求下列函数的导数：
(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；
解(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋exeq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))ex.(2)因为y＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，
所以y′＝(x3)′＋(1)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝3x2－eq\f(2,x3).
【训练1】(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′(1)等于()
A.－eB.－1C.1D.e
解析由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋eq\f(1,x)，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案B
(2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________.
(2)f′(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋x·\f(1,x)))＝a(1＋lnx).由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案(2)3
考点二导数的几何意义
命题角度一求切线方程
【例2】(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.解析(1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案2x－y＝0
【训练2】(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A.x＋y－1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝0
(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋lnx，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝（1＋lnx0）x0，))解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案B
命题角度二求切点坐标
【例3】(2017·西安调研)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
解析由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，又y＝eq\f(1,x)(x>0)的导数y′＝－eq\f(1,x2)，曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－eq\f(1,m2).依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.
则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)
【训练3】若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.解析(1)由题意得y′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e).答案(1)(e，e)
命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)
【例4】(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1