指数函数题型汇总.doc

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指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．
1．比较大小
例1已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．
分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．
解：∵，
∴函数的对称轴是．
故，又，∴．
∴函数在上递减，在上递增．
若，则，∴；
若，则，∴．
综上可得，即．
评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．
2．求解有关指数不等式
例2已知，则x的取值范围是___________．
分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
解：∵，
∴函数在上是增函数，
∴，解得．∴x的取值范围是．
评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．
3．求定义域及值域问题
例3求函数的定义域和值域．
解：由题意可得，即，
∴，故．∴函数的定义域是．
令，则，
又∵，∴．∴，即．
∴，即．
∴函数的值域是．
评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
4．最值问题
例4函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．
分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．
解：令，则，函数可化为，其对称轴为．
∴当时，∵，
∴，即．
∴当时，．
解得或（舍去）；
当时，∵，
∴，即，
∴时，，
解得或（舍去），∴a的值是3或．
评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．
5．解指数方程
例5解方程．
解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
6．图象变换及应用问题
例6为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）．
A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．
解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．
评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．
习题
1、比较下列各组数的大小：
（1）若，比较与；
（2）若，比较与；
（3）若，比较与；
（4）若，且，比较a与b；
（5）若，且，比较a与b．
解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．
（2）由，故．又，故．从而．
（3）由，因，故．又，故．从而．
（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．
（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．
小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．

2曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是().

(
分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.
小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.
求最值
3求下列函数的定义域与值域.
(1)y＝2;(2)y＝4x+2x+1+1.
解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，
∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.
(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.
∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.
4已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值
解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5、设，求函数的最大值和最小值．
分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．
解：设，由知，
，函数成为，，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为．

6（9分）已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
．解：，换元为，对称轴为.
当，，即x=