数列求和方法总结.doc

数列的求和
一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；
2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；
3．熟记一些常用的数列的和的公式．
二、教学重点：特殊数列求和的方法．
三、教学过程：
（一）主要知识：
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：
（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）
2．公式法：

3．错位相减法：比如
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：；
5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求的和。
7．倒序相加法：
8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等
（二）主要方法：
1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3．转化思想的运用；
（三）例题分析：
例1．求和：①
②
③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和
思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①

②

（1）当时，
（2）当
③

总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。
2．错位相减法求和
例2．已知数列，求前n项和。
思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。
解：

当
当
3.裂项相消法求和
例3.求和
思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.
解:
练习:求答案:
4.倒序相加法求和
例4求证：
思路分析：由可用倒序相加法求和。
证：令
则

等式成立
5．其它求和方法
还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
例5．已知数列。
思路分析：，通过分组，对n分奇偶讨论求和。
解：，若

若

预备：已知成等差数列，n为正偶数，
又，试比较与3的大小。
解：

可求得，∵n为正偶数，

（四）巩固练习：
1．求下列数列的前项和：
（1）5，55，555，5555，…，，…；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）．
解：（1）

．
（2）∵，
∴．
（3）∵
∴
．
（4），
当时，…，
当时，…，
…，
两式相减得…，
∴．
（5）∵，
∴原式……．
（6）设，
又∵，
∴，．
2．已知数列的通项，求其前项和．
解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，
偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；
当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，
∴，
当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，
∴，
所以，．

四、小结：1．掌握各种求和基本方法；2．利用等比数列求和公式时注意分讨论。