高二数学导数大题练习(详细答案).pdf

高二数学导数部分大题练习
1．已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd的图象如图所
示．
（I）求c,d的值；
（II）若函数f(x)在x2处的切线方程为3xy110，求
函数f(x)的解析式；
1
（III）在（II）的条件下，函数yf(x)与yf(x)5xm的
3
图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

2．已知函数f(x)alnxax3(aR)．
（I）求函数f(x)的单调区间；
3
（II）函数f(x)的图象的在x4处切线的斜率为,若函数
2
1m
g(x)x3x2[f'(x)]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．
32

3．已知函数f(x)x3ax2bxc的图象经过坐标原点，且在x1处取得极大
值．
（I）求实数a的取值范围；
(2a3)2
（II）若方程f(x)恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；
9
（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意、R，求证：
|f(2sin)f(2sin)|81．

x
4．已知常数a0，e为自然对数的底数，函数f(x)ex，
g(x)x2alnx．
（I）写出f(x)的单调递增区间，并证明eaa；
（II）讨论函数yg(x)在区间(1,ea)上零点的个数．
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5．已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1．
（I）当k1时，求函数f(x)的最大值；
（II）若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围；

2x
6．已知x2是函数f(x)(xax2a3)e的一个极值点（e2.718）．
（I）求实数a的值；
3
（II）求函数f(x)在x[,3]的最大值和最小值．
2

7．已知函数f(x)x24x(2a)lnx,(aR,a0)
（I）当a=18时，求函数f(x)的单调区间；
（II）求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值．

8．已知函数f(x)x(x6)alnx在x(2,)上不具有单调性．
（I）求实数a的取值范围；
2
（II）若f(x)是f(x)的导函数，设g(x)f(x)6，试证明：对任意两个不相
x2
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等正数x、x，不等式|g(x)g(x)||xx|恒成立．
12122712
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1
9．已知函数f(x)x2ax(a1)lnx,a1.
2

（I）讨论函数f(x)的单调性；

f(x1)f(x2)
（II）证明：若a5,则对任意x1,x2(0,),x1x2,有1.
x1x2

1
10．已知函数f(x)x2alnx,g(x)(a1)x,a1．
2
（I）若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求
实数a的取值范围；

（II）若a(1,e](e2.71828L)，设F(x)f(x)g(x)，求证：当x1,x2[1,a]时，

不等式|F(x1)F(x2)|1成立．

11．设曲线C：f(x)lnxex（e2.71828），f(x)表示f(x)导函数．
（I）求函数f(x)的极值；

（II）对于曲线C上的不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1x2，求证：存在唯一

的x0(x1,x2)，使直线AB的斜率等于f(x0)．

12．定义F(x,y)(1x)y,x,y(0,)，
2
（I）令函数f(x)F(3,log2(2xx4))，写出函数f(x)的定义域；
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（II）令函数g(x)F(1,log2(xaxbx1))的图象为曲线C，若存在实数b使得

曲线C在x0(4x01)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；
（III）当x,yN*且xy时，求证F(x,y)F(y,x)．
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答案
1．解：函数f(x)的导函数为f'(x)3ax22bxc3a2b…………（2分）

（I）由图可知函数f(x)的图象过点（0，3），且f'(1)0
d3d3
得…………（4分）
3a2bc3a2b0c0
（II）依题意f'(2)3且f(2)5
12a4b3a2b3

8a4b6a4b35
解得a1,b6所以f(x)x36x29x3…………（8分）
（III）f(x)3x212x9．可转化为：x36x29x3x24x35xm有三
个不等实根，即：gxx37x28xm与x轴有三个交点；
gx3x214x