计算第一型曲线积分-豆柴文库

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计算第一型曲线积分:
(1),其中是以为顶点的三角形
分析：先将L分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。
L=OA+AB+BO，又
OA：
AB：
BO：
解：=++
=
(2),其中是以原点为中心,为半径的右半圆周;
分析：是以原点为中心,为半径的右半圆周的参数方程为：
解：=
.(3),其中为椭圆在第一象限中的部分;
分析：先将椭圆在第一象限中的部分表示为:

解：因为从而
=
=
=
=
=.
此题也可将椭圆在第一象限中的部分表示为参数方程：
(4),其中为单位圆周;
解：由于单位圆的参数方程为:,从而
=.
(5),其中L为螺旋线的一段;
解：=.
(6),其中L是曲线的一段;
解：=
=
(7),其中L是与相交的圆.
分析：与相交的圆的
其参数方程为
解：=
注意：计算第一型曲线积分的关键是将L的表达式正确的给出来。
求曲线的质量,设其线密度为.
分析：根据第一型曲线积分的物理意义
解：曲线质量为:
==
求摆线的重心,设其质量分布是均匀的.
分析：设摆线的密度为，先求出摆线的质量，再求出它的重心
解：因为

所以质量故重心坐标为

=
=


=
若曲线以极坐标表示,试给出计算的公式,并用此公式计算下列曲线积分:
(1),其中L为曲线的一段;
(2),其中L为对数螺线在圆内的部分.
分析：先将L的极坐标表示为直角坐标：
L：
解：因L的参数方程为,从而

故
=.
(1)=
(2)=.
记,则

于是,故.
证明:若函数在光滑曲线上连续,则存在点,使得
其中为L的弧长.
分析：先将第一型曲线积分转化为定积分即：=.再利用推广的定积分第一中值定理
证：由于f在光滑曲线L上连续,从而曲线积分存在,且
=.
又因f在L上连续,L为光滑曲线,所以
与在上连续且非负（不变号），由推广的定积分第一中值定理:使

=.
令显然,且
.