数列求和方法大全例题变式解析标准答案——强烈推荐.doc

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1.7数列前n项和求法

知识点一倒序相加法
特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中
,具有这样特点的数列．
思考：你能区分这类特征吗？

知识点二错位相减法
特征描述：此种方法主要用于数列的求和，其中为等差数列，是公比为q的等比数列，只需用便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．
思考：错位时是怎样的对应关系？

知识点三分组划归法
特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数列，例如1，，，……，
+……+，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．
思考：求出通项公式后如何分组？

知识点四奇偶求合法
特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列
例如，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．
思考：如何讨论？

知识点五裂项相消法
特征描述：此方法主要针对这样的求和，其中{an}是等差数列．
思考：裂项公式你知道几个？

知识点六分类讨论法
特征描述：此方法是针对数列{}的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.
思考：如何表示分段求和？

考点一倒序相加法
例题1：等差数列求和

变式1：求证：

变式2：数列求和

考点二错位相减法
例题2：试化简下列和式：

变式1：已知数列，求前n项和。

变式2：求数列；的前n项和

变式3：求和：

考点三：分组划归法
例三：求数列1，，，……，+……+的和.

变式1：5，55，555，5555，…，，…；

变式2：；

变式3：数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+22+…+2n－1),……前n项的和是 （）
A．2n B．2n－2 C．2n+1－n－2 D．n2n

考点四：奇偶求合法
例四：

变式1：求和：

变式2：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn为{an}前n项和，求Sn

变式3：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2（n≥3），Sn为{an}前n项和，求Sn

考点五：裂项相消法
例五：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求

变式1：；

变式2：数列通项公式为；求该数列前n项和

变式3：：求和

考点六：分类讨论法
例六：在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

变式1：在等差数列中，其前项和为.
（1）求的最小值，并求出的最小值时的值；
（2）求.

变式2：设数列满足，已知存在常数使数列为等比数列.求.

变式3：已知等比数列{}中，=64，q=，设=log2，求数列{||}的前n项和.

答案及解读
考点一
例一：
等差数列求和

①
把项的次序反过来，则：
②
①+②得：

变式1：
思路分析：由可用倒序相加法求和。
证：令
则

等式成立
变式2：
设，
又∵，
∴，．
考点二
例二：

解：①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n=
②若x≠1,则

两式相减得：
+…+

∴
变式1：
思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。
解：

当
当
变式2：
，
当时，…，
当时，…，
…，
两式相减得…，
∴．

变式3：

解：=1\*GB2⑴

=2\*GB2⑵
=1\*GB3①
=2\*GB3②
由=1\*GB3①－=2\*GB3②得：

考点三
例三：求数列1，，，……，+……+的和.
解：∵

∴

变式1：

．
变式2：
∵，
∴原式……．

变式3：C

考点四
例四：
解：当n=2k(kN+)时,

当，

综合得：
变式1：
解：当为偶数时：
当为奇数时：
变式2：
解：①当n为偶数时：

②当n为奇数时：

变式3：
解：∵an-an-2=2（n≥3）
∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n为等差数列
当n为奇数时：
当n为偶数时：
即n∈N+时，
∴①n为奇数时：
②n为偶数时：

考点五
例五：
解：
∵

∴

变式1：
∵，
∴．

变式2：
解：∵
∴
．

变式3：
思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.
解:
练习:求答案:

考点六
例六：
解：(1))由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0.
所以d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或a