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分段函数的几种常见题型及解法

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,笔者就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数的定义域、值域.
【解析】
作图,利用“数形结合”易知的定义域为,值域为.

2．求分段函数的函数值
例2．（05年浙江理）已知函数求.
【解析】
因为,所以.

3．求分段函数的最值
例3．求函数的最大值.
【解析】当时,,当时,,当时,,综上有.

4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数的表达式为（）

【解析】
当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式为,所以,当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式,所以,综上可得,故选A.

5．作分段函数的图像
例5．函数的图像大致是（）

6．求分段函数得反函数
例6已知是定义在上的奇函数,且当时,,设得反函数为,求的表达式.
【解析】
设,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以,且,所以,因此
,从而可得.

7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数的奇偶性.
【解析】
当时,,,当时,,当,,因此,对于任意都有,所以为偶函数.

8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数的单调性.
【解析】
显然连续.当时,恒成立,所以是单调递增函数,当时,恒成立,也是单调递增函数,所以在上是单调递增函数;或画图易知在上是单调递增函数.
例9．写出函数的单调减区间.
【解析】,画图易知单调减区间为.

9．解分段函数的方程
例10．（01年上海）设函数,则满足方程的的值为
【解析】
若,则,得,所以（舍去）,若,则,解得,所以即为所求.

10．解分段函数的不等式
例11．设函数,若,则得取值范围是（）

【解析1】
首先画出和的大致图像,易知时,所对应的的取值范围是.
【解析2】
因为,当时,,解得,当时,,解得,综上的取值范围是.故选D.
例12．设函数,则使得的自变量的取值范围为（）
A．B.
C.D.
【解析】
当时,,所以,当时,,所以,综上所述,或,故选A项.
【点评：】
以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解,方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.