我的矩阵分析总结.doc

矩阵分析期末复习
判断一个集合是否为线性空间
只需要验证2条：加法封闭性；乘法封闭性
例：
1）

2）

3)

判断一组基是否为标准正交基
验证2条：各个向量的模是否为1；两两向量内积是否为0
例：a1=(0,1,0)，a2=(12,0,12)，a3=(12,0,12)
构成R3的一个标准正交基，因为：
|a1|=|a2|=|a3|=1
<a1,a2>=<a1,a3>=<a2,a3>=0

求一个线性变换的核T-1（0）、象集T(V)
例：
(1)证明T(x1,x2,…,xn)=(0,x1,x2,…,xn-1)是线性空间Pn的线性变换且Tn=0(零变换).
(2)求T的核T-1（0）的维数、象集T(V)的维数
证明：
由线性变换的定义，易证T是线性变换，又因
T2(x1,x2,…,xn)
=T(0,x1,x2,…,xn-1)
=(0,0,x1,x2,…,xn-2)
…
=Tn(x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0)
即Tn=0（零变换）
若T(x1,x2,…,xn)=(0,x1,x2,…,xn-1)=(0,0,…,0)
则x1=x2=…=xn-1=0.
即T-1（0）为由一切形如(0,0,…,xn)的向量构成的子空间，它是一维子空间，(0,0,…,1)是它的基。

用最小二乘法解方程组
例：用最小二乘法解下列方程组
x1+x2=1
x1+x3=2
x1+x2+x3=0
x1+2x2–x3=-1
解：
系数矩阵A=11110101112-1，其转置AT=11101112011-1，B=120-1
利用公式ATAX=ATB，有
ATAX=44461-11-13x1x2x3=2-13=ATB
于是求得最小二乘解为：
x1=176,x2=-136,x3=-46

求矩阵的史密斯标准型
初等行、列变换
例：求多项式矩阵A(λ)=0λλ（λ-1）00λ+100-λ+2的史密斯标准形
答案：d1(λ)=1，d2(λ)=λ，d3(λ)=λ(λ-1)(λ-2)

求矩阵的约当标准形
例：求矩阵A的约当标准形，其中
A=-1-2-1063-1-14
step1:先求矩阵A的史密斯标准形;
step2:再写出不变因子、初级因子，令初级因子等于0，求解;
step3:最后写出约当标准形.

判断一个矩阵级数是否收敛
方法一：用矩阵的谱半径来判断
方法二：当谱半径失效时，用约当标准型来判断

求带参数的矩阵函数

向量的范数、矩阵的范数
向量的范数：
例：x=(1,-2,3)T
║x║1=|1|+|-2|+|3|=1+2+3=6
║x║2=(|1|2+|-2|2+|3|2)1/2=(1+4+9)1/2=√14
║x║∞=max(|1|,|-2|,|3|)=max(1,2,3)=3

矩阵的范数：
例：A=12-120-1011
║A║1=max(|1|+|-1|+|0|,|2|+|2|+|1|,|0|+|-1|+|1|)=max(2,5,2)=5列和范数
║A║∞=max(|1|+|2|+|0|,|-1|+|2|+|-1|,|0|+|1|+|1|)=max(3,4,2)=4行和范数
║A║2=max√HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?usm=1&tn=baiduhome_pg&wd=%CE%BB&rsv_idx=2&ie=utf-8&rsv_crq=7&bs=%E6%8B%89%E5%A7%86%E8%BE%BE"\t"_blank"λ(AHA)谱范数

AHA=1-122010-1112-120-1011=20091-11-12
特征方程为：λE-AHA=λ-200λ-9-11-11λ-2=0
得λ1=9.1428，λ2=2.9211,λ3=0.9361
所以║A║2=√HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?usm=1&tn=baiduhome_pg&wd=%CE%BB&rsv_idx=2&ie=utf-8&rsv_crq=7&bs=%E6%8B%89%E5%A7%86%E8%BE%BE"\t"_blank"9.1428=3.0237

║A║F=(12+22+0+(-1)2+22+(-1)2+0+12+12)=1+4+1+4+1+1+1=13

利用盖尔圆盘定理求特征值的取值范围
例：估计矩阵A=10.10.5310.30.20.30.10.2-10.50.2-0.3-0.1-4的特征值范围.
解：圆盘定理所指的四个圆盘为：
|z-1|≤0.1+0.2+0.3=0.6
|z-3|≤0.5+0.1+0.2=0.8
|z+