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微分几何
一、判断题
1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√）
2、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线.（）
3、若和均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）
4、向量函数具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，
的微商与平行（×）
5、等距变换一定是保角变换.（）
6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（）
7、常向量的微商不等于零（×）
8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×）
9、对于曲线s=上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×）
10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√）
11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√）
12、单位切向量的模是1（√）
13、每一个保角变换一定是等距变换（×）
14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（ ）
15、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量.（）

二、填空题
16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线
17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,.
18.设给出类曲线:,则其弧长可表示为
19、已知，，则，，，，。
20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。
21、旋转面r={},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”).
22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线.
23.任何两个向量的数量积
24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__.
25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”).
26.若曲线(c)用自然参数表示,则曲线(c)在点的密切平面的方程是

27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面
28.杜邦指标线的方程为
29、已知曲面，，，则它的第一基本形式为，第二基本形式为，高斯曲率，平均曲率0，点处沿方向的法曲率，点处的两个主曲率分别为。
30、（Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R中的合同或对称。
31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。
32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络

三、综合题
33．求曲线在原点的密切平面，法平面，切线方程。
解：

在原点处

在原点处切平面的方程为:

即
法平面的方程为:

即
切线方程为

即

34、求曲面的渐近曲线。
解设
则 ，，
，，
，，
因渐近曲线的微分方程为

即或
渐近曲线为或

35.求双曲抛物面的第一基本形式
解:
,

36.计算球面的第二基本形式.
解:

由此得到

=
又由于

所以

因而得到

37.如果曲面的第一基本形式计算第二类克力斯托费尔符号.
解:因为
,,
所以

所以

,
,

38、已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地曲率。
解，，，
u-线的测地曲率
v-线的测地曲率

39、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线是测地线吗？为什么？
答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线是测地线.
事实上，设，则的切向量为
记，，，
则曲线的切向量沿平行移动

为测地线

40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线.
解:因为

由于所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是

这是螺旋线,另一族渐近线是

这是直线.

41、设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一
对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.
证 设 ，，则由知，
从而，，
，即
这表明曲线和在对应点的切线夹固定角.

42、证明具有固定方向的充要条件是

证明:必要性设(为常单位向量),则

所以
充分性:(为单位向量函数),则
,

因为,当,从而有

即,因为(根据),因此即为常向量,所以

有固定方向

43、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的
法向量成定角.求证是一条平面曲线.
证 设 ，，其中是的自然参数，记
，则，两边求导，得，
由为曲率线知，即，因此.
若，则为平面曲线；
若，则因为曲面上的一条曲率线，故.而
，所以，即为常向量.于是为平面曲线.

44、求圆柱螺线在处的切线方程。
解
时，有
所以切线的方程为

即

如果用坐标表示，则得切线方程为

即

45、求双曲螺线从t=0起计算的弧长。
解：
从t=0起计算的弧