微分方程在经济学中的应用.doc

第四节微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．
一、供需均衡的价格调整模型
在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S及需求量D与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为
Sa1b1P,DabP,
其中a1,b1,a,b均为常数，且b1＞0,b＞0；P为实际价格．
供需均衡的静态模型为

显然，静态模型的均衡价格为
Pe．
对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras）假设：超额需求［D(P)S(P)］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t时刻价格的变化率与超额需求DS成正比，即
k(DS)，于是瓦尔拉假设下的动态模型为

整理上述模型得
(PeP),
其中k(bb1)＞0,这个方程的通解为
P(t)PeCet．
假设初始价格为P(0)P0,代入上式得，CP0Pe,于是动态价格调整模型的解为
P(t)Pe(P0Pe)·et，
由于＞0，故
Pe．
这表明，随着时间的不断延续，实际价格P(t)将逐渐趋于均衡价格Pe．
二、索洛(Solow)新古典经济增长模型
设Y(t)表示时刻t的国民收入，K(t)表示时刻t的资本存量，L(t)表示时刻t的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：

其中s为储蓄率(s＞0)，为劳动力增长率(＞0)，L0表示初始劳动力(L0＞0)，r称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将KrL两边对t求导，并利用L，有
．
又由模型中的方程可得
sLf(r,1),
于是有
rsf(r,1)．(1041)
取生产函数为柯布道格拉斯(CobbDouglas)函数，即
f(K,L)A0KL1＝A0Lr，
其中A0＞0，0＜＜1均为常数．
易知f(r,1)A0r，将其代入(1041)式中得
rsA0r．(1042)
方程两边同除以r，便有
rr1sA0．
令r1z,则(1),上述方程可变为
(1)zsA0(1)．
这是关于z的一阶非齐次线性方程，其通解为
zCe(1)t(C为任意常数)．
以zr1代入后整理得
r(t)．
当t0时，若r(0)r0,则有
Cr01－A0．
于是有
r(t)．
因此，．
事实上，我们在(1042)式中，令0,可得其均衡值re.
三、新产品的推广模型
设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量Nx(t)也成正比，于是有
kx(Nx)，(1043)
其中k为比例系数，分离变量积分，可以解得
x(t)(1044)
方程(1043)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(1044)也称为逻辑斯谛曲线．
由

以及
，
当x(t*)＜N时，则有＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)时，0;当x(t*)＞时，＜0；当x(t*)＜时，＞0．即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．
国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．
习题104
1．某公司办公用品的月平均成本C与公司雇员人数x有如下关系：
C′C2ex2C
且C(0)1,求C(x)．
2．设RR(t)为小汽车的运行成本，SS(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：
R′,S′bS,
其中a,b为正的已知常数，若R(0)0,S(0)S0(购买成本)，求R(t)与S(t)．
3．设DD(t)为国民债务，YY(t)为国民收入，它们满足如下的关系：
D′Y,Y′Y
其中,,为正已知常数．
(1)若D(0)D0,Y(