微分几何练习题库及参考答案(已修改)...doc

《微分几何》复习题与参考答案
一、填空题
1．极限．
2．设，，求0．
3．已知，，，则.
4．已知（为常向量），则．
5．已知，（为常向量），则．
6.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___和密切平面____.
7.曲率恒等于零的曲线是_____直线____________.
8.挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________.
9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.
10.曲线在t=2处有，则曲线在t=2处的曲率k=3.
11.若在点处则为曲面的_正常______点.
12．已知，，，则．
13．曲线在任意点的切向量为．
14．曲线在点的切向量为．
15．曲线在点的切向量为．
16．设曲线，当时的切线方程为．
17．设曲线，当时的切线方程为.
18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_______________.
19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.
20.在欧拉公式中，是方向(d)与u－曲线的夹角.
21.曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是.
22．已知，其中，则．
23．已知，其中，，则．
24．设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果是一一对应的，则称曲面是简单曲面．
25．如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．
26．平面的第一基本形式为，面积微元为．
27．悬链面第一基本量是．
28．曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是.
29．正螺面的第一基本形式是．
30．双曲抛物面的第一基本形式是．
31．正螺面的平均曲率为0．
32．方向是渐近方向的充要条件是．
33.方向和共轭的充要条件是．
34.是主曲率的充要条件是．
35.是主方向的充要条件是．
36.根据罗德里格斯定理，如果方向是主方向，则．
37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．
38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．
39．之间的关系是．
40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．
41．正交网时测地线的方程为
．
42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.
二、单项选择题
1．已知，则为（A）．
A.；B.；C.；D..
2．已知，为常数，则为（C）．
A.；B.；C.；D..
其中为常向量．
3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）．
A．切线与固定方向成固定角；B．副法线与固定方向成固定角；
C．主法线与固定方向垂直；D．副法线与固定方向垂直．
4.曲面在每一点处的主方向（A）
A．至少有两个；B．只有一个；C．只有两个；D．可能没有.
5．球面上的大圆不可能是球面上的（D）
A．测地线；B．曲率线；C．法截线；D．渐近线．.
6.已知，求为（D）．
A.；B.；
C.；D..
7．圆柱螺线的切线与轴（C）.
A.平行；B.垂直；C.有固定夹角；D.有固定夹角.
8．设平面曲线，s为自然参数，是曲线的基本向量．叙述错误的是（C）．
A.为单位向量；B.；C.；D..
9．直线的曲率为（B）．
A.-1；B.0；C.1；D.2.
10．关于平面曲线的曲率不正确的是（D）．
A.；B.，为的旋转角；
C.；D..
11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）．
A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；
C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.
12．下列论述不正确的是（D）．
A.均为单位向量；B.；C.；D..
13．对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）．
A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；
C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.
14．在点的切线与轴关系为（D）．
A.垂直；B.平行；C.成的角；D.成的角.
15．椭球面的参数表示为（C）．
A.；
B.；
C.；
D..
16．曲面在点的切平面方程为（B）．
A.；B.；
C.；D..
17．球面的第一基本形式为（D）．
A.；B.；
C.；D..
18．正圆柱面的第一基本形式为（C）．
A.；B.；C；D..
19．在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为（B）．
A．；B．；
C．；D．．
20．设为正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．
A．；B．；C．；D．．
21．高斯曲率为零的的曲面称为（A）．
A．极小曲面；B．球面；C．常高斯曲率曲面；D．平面．
22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．
A．；B．；C．；D．3．
23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．
A．；B