电磁场的数学物理基础知识.ppt

第一章电磁场的数学、物理基础知识1-1电磁场与矢量代数1-1电磁场与矢量代数1.1.1矢量及其表示方法1.1.1矢量及其表示方法1.1.1矢量及其表示方法在直角坐标系中矢量的表示一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。
在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。1.1.2矢量相加(几何表示)1.1.2矢量相加(代数表示)1.1.2矢量相加(代数表示)两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的余弦三者的乘积。1.1.3矢量的乘积运算例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：
ex·ey=ey·ez=ex·ez=0
ex·ex=ey·ey=ez·ez=12.矢量的矢量积crossproduct矢量积又称为叉积(CrossProduct)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即
A×B=-B×A
A×(B+C)=A×B+A×C直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：
ex×ey=ezey×ez=ex,ez×ex=ey
ex×ex=ey×ey=ez×ez=0
在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为2.矢量的矢量积crossproduct标量积满足交换律和分配律，矢量积只满足分配律。3.矢量的混合积（1）矢量混合积的几何意义：bh定理1定理3推论1矢量混合积在直角坐标系下的分量表示所以,例2.解式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.解例5向量的数量积例64.矢量的三重积矢量代数运算式矢量代数运算式位置矢量与距离矢量相对位置矢量及模标量体元1-2正交曲面坐标系直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系一点的投影圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系一点的投影球坐标系正交曲面坐标系场的概念形象描绘场分布的工具——场线/面1-3标量场及其梯度1.3.2标量场的方向导数与梯度方向导数给出了函数ψ(P)在给定点处沿某个方向的变化率。从场中的给定点P出发，标量场ψ在不同方向上的变化率是不同的，必定在某个方向上变化率最大。定义一个矢量G，其大小就是函数ψ在该点的最大方向导数的值，其方向就是在点P处变化率最大的方向，这个矢量G称为函数ψ在点P处的梯度（Gradient）。梯度的意义：
已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数

梯度与等值面垂直.

例如,电力线垂直于等电位面若引入算符，它在直角坐标系中可表示为▽：哈密尔顿算符(del)梯度的展开式P8梯度的性质
（1）方向导数等于梯度在该方向上的投影，即

（2）标量场ψ中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数ψ(P)增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。例求f=4e2xy+z在点P1（1，1，1）处的由该点指向P2（3，5，6）方向上的方向导数。1-4矢量场的通量与散度1-4矢量场的通量与散度矢量场的描述矢量场的通量物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。由物理得知，真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量q与真空介电常数0之比，即，温州大学物理与电子信息学院通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系。通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系。而散度概念将描述空间每一点场与源之间的关系。直角坐标系中散度可表示为散度展开式P11例1-5已知矢量场，解：（1）由圆柱坐标散度式（1-28）可知解：（2）设圆柱侧面为S1，上下底面分别为S2、S3，由通量式（1-24）可知对面积的曲面积分的计算法同理：例：zzz散度的意义1-5矢量场的环量与旋度水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。矢量场的旋度(curl)2.旋度：旋度是一个矢量。若以符号rotA表示矢量A的旋度，则其方向是使矢量A具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即矢量的旋度：在矢量场A中，围绕P点做一闭合回路c，所围面积为S，其法线方向单位矢量为n；
A的旋度是矢量，其大小为S0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向无关。旋度的物理意义旋度的展开式P14矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式分别为一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向；
一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系；
一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系。
只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。如果矢量场