正弦定理和余弦定理-知识点与题型归纳.doc

●高考明方向
掌握正弦定理、余弦定理，
并能解决一些简单的三角形度量问题．

★备考知考情
1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考
考查的热点．
2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题
中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的
判断等问题．
3.三种题型都有可能出现，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P62
知识点一正弦定理

(其中R为△外接圆的半径)
变形1:
变形2：
变形3：
注意：(补充)
关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式
均可利用正弦定理进行边角互化。

知识点二余弦定理
注意：(补充)
（1）关于边的二次式或关于角的余弦
均可考虑利用余弦定理进行边角互化。
（2）勾股定理是余弦定理的特例
（3）在中，

用于判断三角形形状
《名师一号》P63问题探究问题3
判断三角形形状有什么办法？
判断三角形形状的两种途径：
一是化边为角；
二是化角为边，
并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

知识点三三角形中常见的结论
△的面积公式有：
①S＝\f(1,2)a·h(h表示a边上的高)；
②S＝\f(1,2)＝\f(1,2)＝\f(1,2)＝\f(,4R)；
知两边（或两边的积）及其夹角可求面积
③S＝\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
(补充)
（1）
（2）在三角形中大边对大角，大角对大边．
（3）任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边．
（4）有关三角形内角的常用三角函数关系式
利用及诱导公式可得之
（5）在△中的几个充要条件:
《名师一号》P63问题探究问题4
>⇔\f(a,2R)>\f(b,2R)⇔a>b⇔A>B.
(补充)

若

或()

或()
《45套》之719

（6）锐角△中的常用结论
为锐角三角形

4．解斜三角形的类型
《名师一号》P63问题探究问题1
利用正、余弦定理可解决哪几类问题？
在解三角形时，
正弦定理可解决两类问题：
(1)已知两角及任一边，求其它边或角；
(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．
情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，
应注意区分．
余弦定理可解决两类问题：
(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；
(2)已知三边问题．
(补充)已知两边和其中一边的对角（如）
用正弦定理或余弦定理均可

《名师一号》P63问题探究问题2
选用正、余弦定理的原则是什么？
若式子中含有角的余弦或边的二次式，
要考虑用余弦定理；
若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，
则考虑用正弦定理；
以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
补充:
一、正弦定理推导必修5
证明思路：
转化到特殊情形直角三角形中

二、余弦定理推导必修5

2011年陕西高考考查余弦定理的证明
18.（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理。

，
，
.
证明：（证法一）如图，

即
同理可证，

（证法二）已知中，所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，
∴，
即
同理可证，

二、例题分析：
（一）利用正、余弦定理解三角形
例1．（1）《名师一号》P62对点自测1
在△中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()
A．5\r(2)B．10\r(2)\f(10\r(6),3)D．5\r(6)

解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得：\f()＝\f().
即\f(10,\f(\r(3),2))＝\f(c,\f(\r(2),2)).∴c＝\f(10\r(6),3).
注意：
已知两角及任一边，求其它边或角
正弦定理,解唯一

例1．（2）《名师一号》P62对点自测2
在△中，若a＝3，b＝\r(3)，A＝\f(π,3)，
则C的大小为．

解析由正弦定理可知
＝\f()＝\f(\r(3)\f(π,3),3)＝\f(1,2)，
所以B＝\f(π,6)或\f(5π,6)(舍去)，
(因为a>b即A＝\f(π,3)>B所以B＝\f(π,6))
所以C＝π－A－B＝π－\f(π,3)－\f(π,6)＝\f(π,2).
一解!

变式1:在△中，若b＝3，a＝\r(3)，A＝\f(π,3)，
则C的大小为．

答案:>1

无解!

变式2:
在中，已知，
解.

答案：
或
两解!

变式3:求边？

注意：
知道两边和其中一边的对角（如）解三角形
可用正弦定理先求出角也可用余弦定理先求出边
再求解。两种方法均须注意解的个数！
可能有一解、二解、无解，应注意区分．

练习:(