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高三数学分布列和期望

高考考纲透析：
等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差

高考风向标：
离散型随机变量的分布列、期望和方差
热点题型1n次独立重复试验的分布列和期望
[样题1]〔2005年高考·全国卷II·理19〕
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.〔精确到0.0001〕
本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4
比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P〔＝3〕＝
比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜.因而
P〔＝4〕＝＋
比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜.因而
P〔＝5〕＝＋
所以的概率分布为
345P0.280.37440.3456的期望＝3×P〔＝3〕＋4×P〔＝4〕＋5×P〔＝5〕＝4.0656
变式新题型1.〔2005年高考·浙江卷·理19〕袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是．
〔Ⅰ〕从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率．
〔Ⅱ〕从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
求恰好摸5次停止的概率；
〔ii〕记5次之内〔含5次〕摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E．
解：〔Ⅰ〕
〔Ⅱ〕〔i〕
〔ii〕随机变量的取值为0，1，2，3，；
由n次独立重复试验概率公式，得
；

〔或〕
随机变量的分布列是
0123P的数学期望是

热点题型2随机变量的取值范围及分布列
[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：
〔Ⅰ〕该顾客中奖的概率；
〔Ⅱ〕该顾客获得的奖品总价值〔元〕的概率分布列和期望.
解法一：
〔Ⅰ〕，即该顾客中奖的概率为.
〔Ⅱ〕的所有可能值为：0，10，20，50，60〔元〕.

010205060P
故有分布列：

从而期望
解法二：
〔Ⅰ〕
〔Ⅱ〕的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16〔元〕.
变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为02，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元求：
〔Ⅰ〕一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率〔保留两位有效数字〕；
〔Ⅱ〕一周5个工作日内利润的期望〔保留两位有效数字〕
解：以表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则~B〔5，02〕

〔Ⅰ〕
〔Ⅱ〕以表示利润，则的所有可能取值为10，5，0，－2

1050－2P0328041002050057

的概率分布为

利润的期望=10×0328+5×0410+0×0205－2×0057≈52〔万元〕

[样题3]〔2005年高考·江西卷·理19〕
A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.
〔1〕求的取值范围；
〔2〕求的数学期望E.
解：〔1〕设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：

〔2〕

变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，〔1〕求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．〔2〕求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率.
分析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可取值为1，2，3，4，5ξ＝1，表示第一发击中〔练习停止〕，故P〔ξ＝1〕＝0．8
ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P〔ξ＝2〕＝〔1－0．8〕×0．8＝0．16ξ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P〔ξ＝3〕＝〔1－0．8〕2×0．8＝0．032以下类推
解：〔1〕ξ的分布列为

ξ12345P0．80．160．0320．00