高等数学第05章：不定积分教学材料.ppt

第一节不定积分的概念与性质例如:，是函数在上的原函数.，sinx是cosx在上的原函数.（1）一个函数具备什么条件,能保证它的原函
数一定存在？
（2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼
此之间有何关系？定义2如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(x)＋C(C为任意常数)称为f(x)在区间I上的不定积分.记作例1求例3求函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族.例3特别地，有例4计算下列积分例5计算下列积分性质2可以推广到有限多个函数的情形，即例6求例7求例8求例9求例10求解例12求第二节不定积分的积分方法综合上述分析，此题的正确解法如下：解用第一换元积分法求不定积分的步骤是还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换=u,还需要在被积表达式中再凑出即,也就是,这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为例2求例3求例4求例5求例6求用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公
式是十分必要的，以下是凑微分公式(在下列各
式中，a，b均为常数，且):例7求例8求例9求例10求例11求一般的说，若积分不易计算可以作适当的
变量代换，把原积分化为的形
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要
将代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.定理2第二类换元法求不定积分的步骤为例13求例12—例13的解题方法称为根代换法,例14求a例15求a例16求a例14—例16中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.补充的积分公式：由函数乘积的微分公式注意：即一般情况下，u与dv按以下规律选择例1求例2求例3求例4求例6求例7求例8求对于某些特殊类型的被积函数的积分，如

有理函数、三角函数有理式等，可通过

恒等变形，应用上述两种方法进行求解例1求于是例2求例3求于是例4求把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的.求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果.现在a=3，b=2,于是例2求例3求