第5章微分变换培训资料.ppt

第五章微分变换ChapterⅤDifferentialRelationships5.1引言（Introduction）5.2微分矩阵（DerivativeMatrixes）我们用符号来表示式（5.4）和式（5.6）中的并将它称为微分变换算子
（5.6）
这样式（5.4）和式（5.6）就可写成如下形式
（5.7）
和（5.8）
式（5.7）中的微分变换算子是针对基坐标的，而式（5.8）中的微分变换算子则是针对T坐标的。
在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，平移变换矩阵是
100a
010b
Trans(a,b,c)=001c（5.9）
0001当平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为
100dx
010dy
Trans(d)=001dz（5.10）
0001
一般性旋转变换的变换矩阵是
kxkxversθ+cosθkykxversθ-kzsinθkzkxversθ+kysinθ0
kxkyversθ+kzsinθkykyversθ+cosθkzkyversθ-kxsinθ0
Rot(k,θ)=kxkzversθ-kysinθkykzversθ+kxsinθkzkzversθ+cosθ0(5.11)
0001
当进行微分旋转变换时，旋转角dθ极小，此时有如下关系将上述关系代入式（5.11）可得
1-kzdθkydθ0
kzdθ1-kxdθ0
Rot(k,dθ)=-kydθkxdθ10(5.12)
0001
由式（5.6）可得

(5.13)5.4微分旋转(DifferentialRotations)在微分变换的情况下，sinθ→dθ，conθ→1，上面三个式子变为

（5.17）

（5.18）

（5.19）

由此可得到
（5.20）比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、z轴分别旋转的结果相同，即
（5.21）
由此可得到绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换算子为

（5.22）

微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即
（5.23）
（5.24）
将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D
（5.25）
这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算子，或基于T坐标的微分运动矢量的微分变换算子。【例5.1】已知坐标A的变换矩阵为

当用微分平移矢量d=1i+0j+0.5k和微分旋转矢量δ＝0i+0.1j+0k对坐标A进行变换时，求出微分变换的结果dA。
解：首先，由式（5.22）求出微分变换算子
由式（5.7）可得
即5.5坐标系之间的微分变换(TransformingDifferentialChangesbetweenCoordinateFrames)我们用矢量的叉乘来得到式（5.27）等号右边二项的乘积

（5.29）

式中d和分别是微分平移和微分旋转矢量。用左乘式（5.29）可得

（5.30）

上式矩阵元素都具有如下矢量三重积形式

根据矢量三重积的性质有
（5.31）同时，三重积中只要有二个矢量是相同的，其结果为零。如
（5.32）
根据上述性质，式（5.30）可写成

（5.33）

对于正交矢量有
（5.34）
这样，式（5.33）可重写成

（5.35）上式可进一步简化为

（5.36）

比较式（5.35）和式（5.36）的矩阵元素可得

（5.37）

（5.38）
在式（5.37）和式（5.38）中，n、o、a和p是微分坐标变换矩阵T的旋转和平移矢量，和是对应坐标T的微分平移和旋转矢量。式（5.37）和式（5.38）也可用6×6的矩阵形式表示如下

（5.39）

将上式写成式（5.36）和式（5.37）的形式如下

（5.40）

（5.41）
式（5.40）和式（5.41）是后续内容中要经常用到的重要结果。【例5.2】给出与例5.1相同的坐标的变换矩阵、微分平移矢量和微分旋转矢量如下：

d=1i+0j+0.5k
δ＝0i+0.1j+0k

试求出坐标A上的等效微分变换dA。
解：由坐标变换矩阵A可得到相应的旋转与平移矢量

由此可求出

根据式（5.40）和式（5.41）得到用上述结果来验证坐标A上的等效微分变换dA，由式（5.8）有

由已求出的、和式（5.36）可得到

则

上述结果与例5.1相同。5.6机械手的微分变换方程——雅可比方程（TheManipulatorJacobian）机械手第i个关节的微分变换引起第6个连杆末端（即机械手末端）的微分变换dT6可由下式表示：
（5.43）
则
（5.44）
由式（5.27）可得到机械手末端的微分变换算子
（5.45）
其中
（5.46）
如果关