【沪科版数学九年级上册导学案】22.1 比例线段（第3课时）.doc

第3课时比例线段（3）
【学习目标】
1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论；
2．经历定理的推导过程，培养推理论证能力．
【学习重点】
定理的正确应用．
【学习难点】
定理的推导证明．
旧知回顾：
1．什么是平行线等分线段定理？
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么它在另一条直线上截得的线段也相等．
2．求出下列各式中的x∶y.
(1)3x＝5y(2)x＝eq\f(2,3)y(3)3∶x＝5∶y
解：(1)eq\f(x,y)＝eq\f(5,3)；(2)eq\f(x,y)＝eq\f(2,3)；(3)eq\f(x,y)＝eq\f(3,5)
3．已知eq\f(x,y)＝eq\f(7,2)，求eq\f(x,x＋y).
解：∵eq\f(x,y)＝eq\f(7,2)，∴eq\f(y,x)＝eq\f(2,7)，∴eq\f(x＋y,x)＝eq\f(2＋7,7)＝eq\f(9,7)，∴eq\f(x,x＋y)＝eq\f(7,9).
基础知识梳理
eq\a\vs4\al(知识模块一平行线分线段成比例定理推导与应用)
阅读教材P69～70页的内容，回答以下问题：
什么是平行线分线段成比例定理，如何推导？

解：如图，有一组平行线：l1∥l2∥l3…∥ln，另外，直线A1An与直线B1Bn被这一组平行线分别截于点A1，A2，…，An和点B1，B2，…，Bn.根据已学定理，可以得到：如果A1A2＝A2A3＝…＝An－1An，那么B1B2＝B2B3＝…Bn－1Bn.如果设A1A2＝A2A3＝…An－1An＝a，B1B2＝B2B3＝…Bn－1Bn＝b，容易得到：eq\f(A1Ak,AkAn)＝eq\f(（k－1）a,（n－k）a)＝eq\f(k－1,n－k)，eq\f(B1bk,bkBn)＝eq\f(（k－1）b,（n－k）b)＝eq\f(k－1,n－k).所以有eq\f(A1Ak,AkAn)＝eq\f(B1Bk,BkBn).

【归纳结论】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
例：已知，如图，AD∥EF∥BC，BE＝3，AE＝9，FC＝2.求DF的长．
解：∵AD∥EF∥BC，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(DF,FC)，∴eq\f(9,3)＝eq\f(DF,2)，∴DF＝6.

变式：如图，已知l1∥l2∥l3，eq\f(AB,BC)＝eq\f(m,n)，求证eq\f(DE,DF)＝eq\f(m,m＋n).

证明：∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(DE,EF)＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(m,n)，∴eq\f(EF,DE)＝eq\f(n,m)，∴eq\f(EF＋DE,DE)＝eq\f(m＋n,m)，∴eq\f(DF,DE)＝eq\f(m＋n,m)，∴eq\f(DE,DF)＝eq\f(m,m＋n).
eq\a\vs4\al(知识模块二平行线分线段成比例定理推论及应用)
阅读教材P70页的内容，回答以下问题：
平行线分线段成比例定理推论是什么？有哪些形式？如何证明？
解：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所对的对应线段成比例，有三种形式，补齐图中第三条平行线可证．

例1：如图，AD∥EG∥BC，AD＝6，BC＝9，AE∶AB＝2∶3，求GF的长．

解：∵EG∥BC，∴eq\f(EG,9)＝eq\f(2,3)，EG＝6.∵EF∥AD，∴eq\f(EF,6)＝eq\f(1,3)，EF＝2，∴GF＝EG－EF＝6－2＝4.
例2：如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥BE，求证eq\f(AE,EC)＝eq\f(AF,FE).

证明：∵DE∥BC，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AD,DB).∵DF∥BE，∴eq\f(AF,FE)＝eq\f(AD,DB)，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AF,FE).
例3：如图，在△ABC中，若eq\f(BD,DC)＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(2,1)，AD和BE交于F，则eq\f(AF,FD)＝eq\f(3,4)．

解：过D作DH∥BE交AC于H.∴eq\f(EH,HC)＝eq\f(BD,DC)＝2，∴EH＝eq\f(2,3)CE.∵BD∶DC＝CE∶AE＝2∶1，∴AE＝eq\f(1,2)CE＝eq\f(3,