【沪科版数学九年级上册导学案】22.2 相似三角形的判定(第3课时).doc

第3课时相似三角形的判定(3)
【学习目标】
1．经历三角形相似的判定定理2的探索及证明．
2．能应用判定定理2判定两个三角形相似解决相关问题．
【学习重点】
三角形相似的判定定理2及应用．
【学习难点】
三角形相似的判定定理2的证明．
旧知回顾：
1．相似三角形的定义是什么？
三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．
2．判定两个三角形相似，你有哪些方法？
方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似(不需要边的条件、使用灵活)．
基础知识梳理
eq\a\vs4\al(知识模块一三角形相似的判定定理2的证明)
阅读教材P79页的内容，回答以下问题：
三角形相似的判定定理2是什么？如何证明？
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．(简称：两边成比例且夹角相等的两三角形相似．)
探究：已知，如图，在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′).求证：△A′B′C′∽△ABC.

证明：在△ABC的边AB上，截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线DE交AC于E，则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC.∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，AD＝A′B′，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,AE).∵eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)，∴eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(AC,AE)，A′C′＝AE.∵∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′(SAS)，∴△A′B′C′∽△ABC.
你还有其他方法来证明吗？
例：如图所示，eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(3,2)，则下列结论不成立的是(D)

A．△ABD∽△ACEB．△BOE∽△COD
C．∠B＝∠CD．BE∶CD＝3∶2
eq\a\vs4\al(知识模块二三角形相似的判定定理2的应用)
例1：如图所示，△ABD∽△ACE.求证：△ADE∽△ABC.

证明：∵△ABD∽△ACE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE.
例2：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AB＝2，CD＝3，BC＝7，在BC上找一点P，使以A、B、P为顶点的三角形和△CDP相似，并求BP的长．

解：若∠B＝∠C，则可分eq\f(AB,CD)＝eq\f(BP,PC)或eq\f(AB,PC)＝eq\f(BP,CD)两种情况．∴设BP＝x，PC＝7－x，得eq\f(2,3)＝eq\f(x,7－x)或eq\f(2,7－x)＝eq\f(x,3)，解得x＝eq\f(14,5)，解得x＝1或6.∴BP的长为1或6或eq\f(14,5).
例3：如图，已知正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.

【分析】欲证△ADQ∽△QCP，通过观察发现两个三角形已经具备一角对应相等，即∠D＝∠C，此时，可再寻求此对等角的两对邻边对应成比例．
证明：设正方形的边长为a.∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC＝CD＝a.∵Q是CD的中点，∴DQ＝QC＝eq\f(1,2)a.∵BP＝3PC，∴PC＝eq\f(1,4)a，∴eq\f(AD,QC)＝eq\f(a,\f(1,2)a)＝eq\f(2,1)，eq\f(DQ,PC)＝eq\f(\f(1,2)a,\f(1,4)a)＝eq\f(2,1)，∴eq\f(AD,QC)＝eq\f(DQ,CP).又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.
基础知识训练
1．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝1.5或eq\f(8,3)．

(第1题图)(第2题图)
2．如图，∠1＝∠2，添加一个条件eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，使得△ADE∽△ABC.
3．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD＝∠ACD，试找出图中的相似三角形，△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC．

本课内容反思
1．收获：___________________________________________________