【沪科版数学九年级上册导学案】22.2 相似三角形的判定(第5课时).doc

第5课时相似三角形的判定（5）
【学习目标】
1．经历直角三角形相似的判定定理的探索及证明．
2．直角三角形相似的判定定理的应用．
【学习重点】
三角形相似的判定定理及应用．
【学习难点】
直角三角形相似的判定定理的推导．
旧知回顾：
1．全等三角形的判定方法有哪些？
答：SSS，SAS，ASA，AAS，(HL)．
2．我们学过的相似三角形的判定有哪些？
答：(1)平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交，所得三角形与原三角形相似；(2)三边对应成比例两三角形相似；(3)两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似；(4)两角对应相等，两三角形相似．
基础知识梳理
eq\a\vs4\al(知识模块一直角三角形相似的判定定理的证明)
阅读教材P83页的内容，回答以下问题：
1．除前面的判定方法外直角三角形相似还有哪种特殊的判定方法？如何证明？
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．

2．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′).求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
证明：设eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.由勾股定理，得：BC＝eq\r(AB2－AC2)，B′C′＝eq\r(A′B′2－A′C′2)，∴eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(\r(AB2－AC2),B′C′)＝eq\f(\r(k2A′B′2－k2A′C′2),B′C′)＝eq\f(kB′C′,B′C′)＝k.∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′).
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)．
例：判定△ABC∽△DEF，已知∠C＝∠F＝90°，则还应有条件(D)
A．∠B＝∠EB.eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)C.eq\f(BC,EF)＝eq\f(AC,DF)D．以上都对
eq\a\vs4\al(知识模块二直角三角形相似的判定定理的应用)

例1：如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝eq\r(6)，AD＝2.问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？
解：由勾股定理得：CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(（\r(6)）2－22)＝eq\r(2)，分eq\f(BC,AC)＝eq\f(AD,DC)或eq\f(BC,AC)＝eq\f(DC,AD)两种情况均能得到△ABC和△ACD相似.eq\f(BC,\r(6))＝eq\f(2,\r(2))或eq\f(BC,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，解得BC＝2eq\r(3)或eq\r(3)，∴AB＝3eq\r(2)或3.
例2：已知：如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D.

(1)求证：BC2＝BD·BA；
(2)若AD＝eq\f(9,5)，BC＝4，求AC、BD.
证明：(1)∵CD⊥BA，∴∠BDC＝90°＝∠BCA，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴eq\f(BC,BA)＝eq\f(BD,BC)，∴BC2＝BD·BA.
(2)由(1)BC2＝BD·BA，设BD＝x，则42＝x(x＋eq\f(9,5))，解得x1＝eq\f(16,5)，
x2＝－5(舍)，∴AB＝eq\f(9,5)＋eq\f(16,5)＝5，由勾股定理AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(52－42)＝3，∴AC＝3，BD＝eq\f(16,5).
例3：如图，△ABC中，∠CAB＝90°，CB的中垂线交BC于点E，交CA的延长线于点D，交AB于点F.求证：AE2＝EF·ED.

证明：∵E是BC中点，AE是Rt△CAB斜边上的中线，∴AE＝eq\f(1,2)BC＝EC，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC＋∠EAF＝90°，∴∠C＋∠D＝90°，∴∠D＝∠EAF.∵∠AEF＝∠DEA.∴△AEF∽△DEA，∴eq\f(AE,EF)＝eq\f(DE,AE)，∴AE2＝EF·ED.
基础知识训练
1．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝eq\f(10,3)．

(第1题图)(第2题图)
2．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，