【沪科版数学九年级上册导学案】22.3 相似三角形的性质（第1课时）.doc

22.3相似三角形的性质
第1课时相似三角形的性质（1）
【学习目标】
理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比及相似三角形的面积比、周长比与相似比之间的关系．
【学习重点】
相似三角形性质的应用．
【学习难点】
相似三角形性质的理解．
旧知回顾：
1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫相似三角形，对应边的比也叫相似比．
2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
全等三角形是相似三角形，其相似比为1.
3．相似三角形的判定方法有哪些？
共五种，略．
基础知识梳理
eq\a\vs4\al(知识模块一相似三角形性质定理1)
阅读教材P87～88页的内容，回答以下问题：
相似三角形性质定理1有哪些内容？如何证明？
答：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，以角平分线为例．
探究：如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线AD与A′D′的比．

解：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B′A′D′，∴△ABD∽△A′B′D′(有两个角对应相等的两个三角形相似)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.
根据上面的探究，你能得到什么结论？
【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
在上图中，如果AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高和中线，相应的结论依然成立．
例：如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G.DE∶BC＝2∶3，那么AG∶GH＝2∶1．

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AG,AH)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AG,GH)＝2.
eq\a\vs4\al(知识模块二相似三角形性质定理2和定理3)
阅读教材P88页的内容，回答以下问题：
相似三角形性质定理2和性质定理3各是什么？如何证明？
答：定理2：相似三角形周长比等于相似比．定理3：相似三角形面积比等于相似比的平方．
探究：如图，△ABC∽△A′B′C′，eq\f(AB,A′B′)＝k，AD、A′D′为△ABC和△A′B′C′的高．

(1)这两个相似三角形周长比为多少？
(2)这两个相似三角形面积比为多少？
解：(1)由于△ABC∽△A′B′C′，所以AB∶A′B′＝BC∶B′C′＝AC∶A′C′＝k，由并比性质可知(AB＋BC＋AC)∶(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.
(2)由题意可知△ABD∽△A′B′D′，所以AB∶A′B′＝AD∶A′D′＝k，因此可得△ABC的面积∶△A′B′C′的面积＝(eq\f(1,2)AD·BC)∶(eq\f(1,2)A′D′·B′C′)＝k2.
例1：在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为8，3．
【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3.
例2：把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的eq\f(1,2)倍，那么边长应缩短到原来的eq\f(\r(2),2)．
基础知识训练
1．如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为(B)

A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,3)
2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为8．
3．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD＝1，则BC的长是3．

本课内容反思
1．收获：________________________________________________________________________
2．困惑：________________________________________________________________________