【沪科版数学九年级上册导学案】23.1.1 锐角的三角函数（第1课时）.doc

第23章解直角三角形
23.1锐角的三角函数
23.1.1锐角的三角函数
第1课时锐角的三角函数（1）
【学习目标】
1．让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明．
2．会求直角三角形中某个锐角的正切值；了解坡度的有关概念．
【学习重点】
理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．
【学习难点】
理解正切的意义，并用它来表示两边的比．
情景导入
在图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1哪个更陡呢？你是怎样判断的？

答：坡面A1B1更陡，沿坡面A1B1水平移动上升垂直高度更大．
基础知识梳理
eq\a\vs4\al(知识模块一正切的定义)
阅读教材P112～113页的内容，回答以下问题：

1．探究：(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
(2)eq\f(B1C1,AC1)和eq\f(B2C2,AC2)有什么关系？
(3)如果改变B2C2在梯子上的位置(如B3C3)，eq\f(B1C1,AC1)和eq\f(B3C3,AC3)有什么关系？
(4)由此你得出什么结论？
答：(1)Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2；(2)eq\f(B1C1,AC1)＝eq\f(B2C2,AC2)；(3)eq\f(B1C1,AC1)＝eq\f(B3C3,AC3)；(4)在直角三角形中，锐角A的度数一定，其对边与邻边的比也一定．
2．什么是锐角的正切？
答：如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作：tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边).

例：如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？

解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，∴CD＝1.5，∴tanC＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(1.5,1.5)＝1.
eq\a\vs4\al(知识模块二坡度与坡角)
阅读教材P113～114页的内容，回答以下问题：
1．什么叫坡度？如何表示？坡度与坡角关系是怎样的？
答：如图，正切经常用来描述坡面的坡度，坡面的高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即：i＝eq\f(h,l)(坡度通常写成h∶l的形式)．坡面与水平面的夹角叫做坡角．记作α，即i＝eq\f(h,l)＝tanα.

【归纳结论】坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
例1：如图，若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高了6米．

答：i＝tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,4)，设AC＝3x，BC＝4x，由勾股定理求得x＝2，∴AC＝6，即升高6米．
例2：已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离均为h，距形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tanα的值为(C)

A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,2)
解：过A作AE⊥l4于E，过C作CF⊥l4于F，∵∠ABE＋∠α＝∠α＋∠BCF＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，∴Rt△ABE∽Rt△BCF，eq\f(AB,BC)＝eq\f(AE,BF)，即eq\f(4,6)＝eq\f(h,BF)，∴BF＝eq\f(3h,2)，在Rt△BCF中，tanα＝eq\f(CF,BF)＝eq\f(2h,\f(3,2)h)＝eq\f(4,3)，故选C.
基础知识训练
1．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则tanα等于(C)

A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)
C.eq\f(5,12)D.eq\f(12,5)
2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶eq\r(3)，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是(A)
A．100mB．100eq\r(3)m
C．150mD．50eq\r(3)m

(第2题图)(第3题图)
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠ACD＝α，AC＝1，BC＝3，则tanα＝eq\f(1,3)．
本课内容反思
1．收获：________________________________________________________________________
2．困惑：_____________________________________________________________________