【沪科版数学九年级上册导学案】23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值.doc

23.1.230°，45°，60°角的三角函数值
【学习目标】
经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，熟练进行计算，使学生理解正、余弦相互关系式及推导过程，并能利用其解答一些基本问题．
【学习重点】
能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
【学习难点】
进一步体会三角函数的意义．
旧知回顾：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°
(1)sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a)．
(2)若∠A＝30°，则eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)．
基础知识梳理
知识模块一30°、45°、60°角的三角函数值
阅读教材P117～118页的内容，回答以下问题：
1．如何得出30°、45°、60°角的三角函数值？
答：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，设BC＝1，则AB＝2，由勾股定理得AC＝eq\r(3)，于是可得sin30°＝eq\f(1,2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，tan30°＝eq\f(\r(3),3)，sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，tan60°＝eq\r(3).

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，设BC＝1，则AC＝1，AB＝eq\r(2)，于是有：sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，tan45°＝1．

【归纳结论】特殊角三角函数值：
三角函数
αsinαcosαtanα30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)例：求下列各式的值：
(1)cos260°＋cos245°＋eq\r(2)sin30°sin45°；
(2)eq\f(cos60°＋sin45°,cos60°－sin45°)＋eq\f(cos60°－cos45°,cos60°＋cos45°).
解：(1)原式＝(eq\f(1,2))2＋(eq\f(\r(2),2))2＋eq\r(2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,4)；
(2)原式＝eq\f(\f(1,2)＋\f(\r(2),2),\f(1,2)－\f(\r(2),2))＋eq\f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝eq\f(（1＋\r(2)）2＋（1－\r(2)）2,12－（\r(2)）2)＝eq\f(1＋2＋2\r(2)＋1－2\r(2)＋2,1－2)＝－6.
知识模块二正弦和余弦的关系
阅读教材P119页的内容，回答以下问题：
正弦和余弦的关系是怎样的？如何推导？
答：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.∵sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，∴sinA＝cosB，cosA＝sinB.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝90°－∠A，即sinA＝cosB＝cos(90°－∠A)，cosA＝sinB＝sin(90°－∠A)

例1：填空：
(1)已知：sin67°18′＝0.9225，则cos22°42′＝0.9225；
(2)已知：cos4°24′＝0.9971，则sin85°36′＝0.9971．
例2：已知sinA＝1/2，且∠B＝90°－∠A，求cosB.
解：∵∠B＝90°－∠A，∴∠A＋∠B＝90°，∴cosB＝cos(90°－∠A)＝sinA＝eq\f(1,2).
变式：已知α、β为锐角，且sin(90°－α)＝eq\f(1,3)，sinβ＝eq\f(1,4)，求eq\f(cos（90°－β）,cosα)的值．
解：∵sin(90°－α)＝cosα＝eq\f(1,3)，cos(90°－β)＝sinβ＝eq\f(1,4)，∴eq\f(cos（90－β）,cosα)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,3))