【沪科版数学九年级上册导学案】23.2 解直角三角形及其应用（第1课时）.doc

23.2解直角三角形及其应用
第1课时解直角三角形及其应用（1）
【学习目标】
1．使学生理解直角三角形的五个元素的关系．
2．会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【学习重点】
直角三角形的解法．
【学习难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
旧知回顾：
直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
解：(1)边角之间关系sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)；(2)三边之间关系a2＋b2＝c2(勾股定理)；
(3)锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°.
基础知识梳理
eq\a\vs4\al(知识模块一解直角三角形类型与解法)
阅读教材P124～125页的内容，回答以下问题：
1．什么叫解直角三角形？
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形有哪些类型？试填写下表理解.
在Rt△ABC中，∠C＝90°已知选择的边角关系斜边和一直角边c、a由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°－∠A，b＝eq\r(c2－a2)两直角边a、b由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A，∠B＝90°－∠A，c＝eq\r(a2＋b2)斜边和一锐角c、∠A∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA，b＝c·cosA一直角边和一锐角a、∠A∠B＝90°－∠A；b＝eq\f(a,tanA)；c＝eq\f(a,sinA)例1：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8eq\r(3)，∠A＝60°，求∠B、a、b.
解：a＝csin60°＝8eq\r(3)·eq\f(\r(3),2)＝12，b＝ccos60°＝8eq\r(3)·eq\f(1,2)＝4eq\r(3)，∠B＝30°.
变式：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3eq\r(6)，∠A＝30°，求∠B、b、c.
解：∠B＝90°－30°＝60°，b＝atanB＝3eq\r(6)·eq\r(3)＝9eq\r(2)，由于eq\f(a,c)＝sinA，所以c＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(3\r(6),\f(1,2))＝6eq\r(6).
例2：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，a＝eq\r(3)－1，求∠A、∠B、b.
解：由于eq\f(a,c)＝eq\f(\r(3)－1,\r(6)－\r(2))＝sinA，所以sinA＝eq\f(\r(3)－1,\r(6)－\r(2))＝eq\f(（\r(3)－1）（\r(6)＋\r(2)）,（\r(6)－\r(2)）（\r(6)＋\r(2)）)＝eq\f(3\r(2)－\r(6)＋\r(6)－\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).由此可知，∠A＝45°，∠B＝90°－45°＝45°，且有b＝a＝eq\r(3)－1.
eq\a\vs4\al(知识模块二通过构造作图解直角三角形)
例：已知如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长(结果保留根号)．

解：作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,AB)，AD＝AB·sinB＝6×sin45°＝3eq\r(2).∵tanB＝eq\f(AD,BD)，BD＝eq\f(AD,tanB)＝eq\f(3\r(2),tan45°)＝3eq\r(2)，在Rt△ADC中，tanC＝eq\f(AD,CD)，CD＝eq\f(AD,tanC)＝eq\f(3\r(2),tan60°)＝eq\r(6)，∴BC＝BD＋CD＝3eq\r(2)＋eq\r(6).
变式：如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sinA＝eq\f(2,3)，求tanB的值．

解：作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，sinA＝eq\f(CD,AC)，CD＝6×eq\f(2,3)＝4，在Rt△CDB中，BD＝eq\r(BC2－CD2)＝eq\r(52－42)＝3，∴tanB＝eq\f(CD,DB)＝eq\f(4,3).
基础知识训练
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝eq\r(3)，c＝2，则∠A＝60°，b＝1．
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，AB＝3eq\r(3)，则下底BC的长为10