【沪科版数学九年级上册导学案】23.2 解直角三角形及其应用（第3课时）.doc

第3课时解直角三角形及其应用（3）
【学习目标】
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
【学习重点】
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
方位角的辨别和使用．
旧知回顾：
方位角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方位角．如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东60°，南偏东45°(或东南方向)，南偏西80°及北偏西30°.

基础知识梳理
eq\a\vs4\al(知识模块一基本的方位角问题)
例：(1)如图，小红从A地向北偏东30°方向走100m到B地，再从B地向西走200m到C地，这时小红距A地(B)
A．150mB．100eq\r(3)mC．100mD．50eq\r(3)m

（第(1)题图)（第(2)题图)（第(3)题图)
(2)如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6km，则AB＝3eq\r(3)km.
(3)如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B处，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中，距灯塔S的最近距离是6eq\r(3)海里．
eq\a\vs4\al(知识模块二复杂的方位角问题)
例：如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，已知在岛C周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．

解：过C作CD⊥AB于点D.由题意可知：AB＝24×eq\f(30,60)＝12，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△BDC中，tan60°＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)CD.在Rt△ADC中，tan30°＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\r(3)CD.又AD＝AB＋BD，∴eq\r(3)CD＝12＋eq\f(\r(3),3)CD，∴CD＝6eq\r(3)＞9.∴若继续向正东方向航行，该货船没有触礁危险．
eq\a\vs4\al(知识模块三较为复杂的方位角问题)
例：已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，eq\r(2)≈1.41，eq\r(5)≈2.24)

解：过B作BH⊥AC交AC延长线于H.在Rt△ABD中，sin∠DAB＝eq\f(DB,AB)，AB＝eq\f(16,sin53.2°)≈20.在Rt△ABH中，∠BAH＝79.8°－53.2°＝26.6°，tan∠BAH＝eq\f(BH,AH)，tan26.6°＝eq\f(BH,AH)≈eq\f(1,2)，∴AH＝2BH.由BH2＋AH2＝AB2＝202得BH＝4eq\r(5)(取正值)、AH＝8eq\r(5).在Rt△BCH中，BC＝40×eq\f(15,60)＝10，CH＝eq\r(102－（4\r(5)）2)＝2eq\r(5).故AC＝AH－CH＝8eq\r(5)－2eq\r(5)＝6eq\r(5)≈13.4(km)
变式：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?

解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos(90°－65°)＝80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B＝34°，∵sinB＝eq\f(PC,PB)，∴PB＝eq\f(PC,sinB)＝eq\f(72.505,sin34°)≈129.66.因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66海里．
基础知识训练
1．上午8时，一条船从A处出发，以每