2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题.doc

2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题
1．（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求△ACD的面积．
（2）若AE=BN，AN=CE，求证：ADCM+2CE．

解：（1）作CG⊥AD于G，如图1所示：

设PG=x，则DG=4-x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，
∴17-x2=9+8x-x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，
∴S△ACDAD×CG6×4=12．
（2）证明：连接NE，如图2所示：

∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，，
∴△NBF≌△EAF，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM，
∴CM=NE，
又∵NFNEMC，
∴AFMC+EC，
∴ADMC+2EC．
2．（2019广州）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，
∴∠DFC=∠C=60°，
∴∠DFC=∠A，
∴DF∥AB．
（2）存在，
如图，过点D作DM⊥AB交AB于点M，

∵AB=BC=6，BD=4，
∴CD=2
∴DF=2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，
∴MD=2，
∴S△ABF的最小值6×（22）=66，
∴S最大值2×3（66）=-36．
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，
∵GD⊥EF，∠EFD=60°，
∴FG=1，DGFG，
∵BD2=BG2+DG2，
∴16=3+（BF+1）2，
∴BF1，
∴BG，
∵EH⊥BC，∠C=60°，
∴CH，EHHCEC，
∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴，
∴，
∴EC1，
∴AE=AC-EC=7．
3．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA=2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．

证明：（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，
又∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC．
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴，
∴，
∴PA=2PC．
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，

∴PF=h1，PD=h2，PE=h3，
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，
∴∠APC=90°，
∴∠EAP+∠ACP=90°，
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，
∴∠EAP=∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，
∴h3=2h2，
∵△PAB∽△PBC，
∴，
∴，
∴．
即：h12=h2·h3．
4．（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG．
①当tan∠ACF时，求所有F点的坐标__________（直接写出）；
②求的最大值．

解：（1）证