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函数的单调性教案

作为一名教职工，就不得不需要编写教案，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。那么教案应该怎么写才合适呢？下面是小编精心整理的函数的单调性教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。函数的单调性是函数的重要性质之一,在解题时若能合理巧妙地加以运用,定会给你带来快捷的解题思路.本文举例谈谈函数的单调性在解题中的多方面应用.一、用于比较两个数的大小例1比较log2(x+1)与log2(2x+3)的大小.分析:从题设的两个对数式,便联想起y=log2u在(0,+∞)上是单调函数,因此只要比较两个真数的大小,原题就可获解.解:由{x+1＞02x+3＞0解得x>-1.当x>-1时,有0又因为函数y=log2u在(0,+∞)上单调递增,所以log2(x+1)二、用于证明不等式例2已知a、b、c∈R+,ca-b,求证cc+1＜aa+1+bb+1.分析:观察题中的cc+1aa+1bb+1的特征,自然会考虑函数f(x)=xx+1.然后利用此函数在(0,+∞)上是增函数,可获结论.证明:构造函数f(x)=xx+1=1-1x+1,由此可知f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.又由c即cc+1＜a+b(a+b)+1=a(a+b)+1+b(a+b)+1＜aa+1+bb+1故cc+1＜aa+1+bb+1.三、用于求函数的最值例3求函数f(x)=x+1-x-3的最大值.解∶由f(x)=x+1-x-3=4x+1+x-3知函数f(x)=x+1-x-3在其定义域[3,+∞)上是减函数,所以函数f(x)=x+1-x-3的最大值是f(3)=2.四、用于求解方程例4解方程2x+3x+6x=7x.解:原方程可变形为(27)x+(37)x+(67)x=1.设f(x)=(27)x+(37)x+(67)x,因为0＜273767＜1,所以f(x)=(27)x+(37)x+(67)x在R内单调递减.而f(2)=(27)2+(37)2+(67)2=4+9+3649=1所以要使f(x)=(27)x+(37)x+(67)x=1=f(2),有且只有x=2,所以原方程的解为x=2.五、用于求不等式的解集例5设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(xy)=f(x)-f(y)f(3)=1,求解不等式f(x)-f(1x-3)＞2.解:由于f(xy)=f(x)-f(y),所以f(x)-f(1x-3)=f(x2-3x).令x=9,y=3,则f(3)=f(9)-f(3),故f(9)=2f(3)=2,原不等式即为f(x2-3x)>f(9).由于f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,故原不等式等价于{x＞0x-3＞0x2-3x＞9.解得x＞3+352.所以原不等式解集为{x|x＞3+352}.六、用于求参数的取值范围例6设函数f(x)=lg1+2x+3x++(n-1)x+nxan(a∈Rn∈Ν*n≥2).若当x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求a的取值范围.解:由f(x)有意义,则1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa>0,于是a＞-[(1n)x+(2n)x+(3n)x++(n-1n)x](n∈Ν*n≥2)在x∈(-∞,1]上恒成立.设g(x)=-[(1n)x+(2n)x+(3n)x++(n-1n)x],由-(mn)x(m=123n-1)在x∈(-∞,1]上均为增函数,知g(x)在(-∞,1]上为增函数.所以g(x)≤g(1)=-(1n+2n+3n++n-1n)=1-n2.所以当a＞1-n2时,a>g(x)在x∈(-∞,1]上恒成立,从而得a的取值范围是(1-n2+∞).七、用于求值例7实数x,y满足(x+x2+1)(y+y2+1)=1,求x+y的值.解:设f(t)=t+t2+1(t∈R),则f(t)在R上单调递增.由题设等式可得x+x2+1=1y+y2+1=-y+(-y)2+1所以f(x)=f(-y),即x=-y,故x+y=0.八、用于求值域例8求函数y=sinx2+2sinx(0＜x＜π)的值域.解:令sinx2=t,则f(t)=t+1tt∈(012].又f(t)在(012]上单调递减,则f(t)的最小值是f(12)=52.故函数y=sinx2+2sinx(0＜x＜π)的值域为[52+∞).从上述各例不难看出,运用函数的单调性解题,关键在于合理的利用题设条件,构造出相应的函数,并将原问题进行等价转换,通过函数的单调性使问题得以解决.