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大学数学线性代数中若干知识点的说明

上学的时候，大家都没少背知识点吧？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。为了帮助大家掌握重要知识点，下面是小编为大家收集的大学数学线性代数中若干知识点的说明，仅供参考，大家一起来看看吧。大学数学线性代数中若干知识点的说明篇1行列式的几何意义是什么？行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么它就是一个多项式。其本质上代表一个数值。（矩阵代表一个数表）行列式可以按照阶数分，比如一阶，二阶，三阶直至n阶行列式。几何意义是什么？1.行列式就是行列式中的行和列所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积。（可以对二阶行列式推导一下，更能直观的了解）（静态的体积概念）2.行列式就是线性变换下的图形面积或体积的伸缩因子。（动态的变换比例概念）向量空间向量种类繁多，形形色色的向量方向，长短各异，应该给他分类，划分向量集合，由于向量的概念具有几何特性，因此向量的集合通常叫做向量空间。作为一个空间，规矩特别多，书上给出了八条铁律，其实只有两条基本原则，任意两向量相加不能超出空间，任意一向量伸缩也不能超出空间。由第二条伸缩性，就可以说明空间包含零向量，有了零向量，在第一条的原则上就可以推导出负向量。子空间一定要经过原点为什么？实际上，我们现在讨论的向量，不能称之为自由向量，因为所有的向量的尾巴都被拉到了原点上，或者说，所有向量空间里的向量都是从原点出发的，大家都有一个共同的零空间，这就是为什么所有的子空间一定要包含零空间的原因了。那为什么要把所有的向量的尾巴都被拉到了原点上呢？为了研究向量的方便，因为这样就可以把向量和空间中的点一一对应起来，空间中一旦建立起了坐标系，点有坐标值，那么我们就用点的坐标表示与点对应的向量，这样向量就有了解析式，就有了向量的坐标表达式，我们就可以方便分析与计算了。如果一个子空间没有通过原点，那么从原点出发的向量必然首尾不顾，造成了向量头在子空间中，尾在空间外（因为原点在空间外）。当然，向量的加法和数乘也都跑到子空间外面去了。基的几何意义是什么？“基”，说道这个，我们可以马上联想到做房子的地基，每一个基向量可以看成是房子的砖块，整个空间都是由这些砖块衍生出来的。所以，一个基能代表或衍生出空间里所有的向量，缺一不可。其次，作为基的每一个向量，都是相互不能代替的，必须线性无关。它是最大的线性无关向量组。维数一个基包含的向量个数就是坐标轴的个数，也就是向量空间的维数。维数是空间的'一个本质特征，不依赖于基的选取。标准正交基标准正交基也叫规范正交基，实际上，如果这些基向量相互垂直，就叫正交基，而且每个基向量的长度等于1，那么这个基叫做标准正交基。为什么要定义这样的标准正交基呢？主要原因是如果基是正交且标准的，就容易计算向量子空间的投影和基坐标，换句话说，如果你选取的坐标系是垂直的，而且取得坐标单位为1，就很容易计算向量空间里面的向量坐标值。矩阵在此引用《关于矩阵的理解》一文中的某一段落：“在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述”特征向量的几何意义特征向量的原始定义Ax=cx，A是方阵，c是一数。（课本的定义是利用变换，即ax=rx，a是线性空间中的线性变换，x是非零向量，r是数域里的一个数）从定义可以看出，矩阵A乘以向量x结果仍是同维数的一个向量。因此矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。那变换的效果取决与矩阵的构造，比如我们可以取一个特殊的二维方阵，使得将平面上的二维向量旋转45度，这时，我们可以对自己问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？当然有了，零向量就可以，但除零向量之外呢？那就没有了，所以这个变换对应的矩阵就没有特征向量。所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已，同时特征向量不是一个向量而是一个向量族。对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，似乎不是那么重要；但是，当我们学习了Spectraltheorem时就不会这么认为了。大学数学线性代数中若干知识点的说明篇2线性代数的学习切入点是线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。线性方程组线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：1、方程组是否有解，即解的存在性问题；2、方程组如何求解，有多少个；3、方程组有不止一个解时，这