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不等式证明的若干方法

第一篇：不等式证明的若干方法不等式证明的若干方法摘要:无论是在初等数学还是在高等数学中，不等式证明都是其中一块非常重要的内容.本文主要总结了高等数学中不等式的几种证明方法,高等数学中不等式证明的常用方法有利用函数的单调性、Cauchy不等式、中值定理、泰勒公式、Jensen不等式、定积分的性质、放大或缩小被积函数及变积分上下限证明不等式等.通过辅以例题对这些方法进行详细的分析，给出其适用范围、具体步骤及限制条件.其中利用函数的单调性和利用中值定理法是基础的方法，其它几种方法需要要重点掌握，并可在证明中灵活运用.关键词：不等式积分中值定理SomeMethodsaboutInequalityProofAbstract:Theprovingoftheinequalityisaveryimportantcontent,whetherinelementarymathematicsorinhighermathematics.Thispapermainlysummarizesseveralmethodsofprovingtheinequalityinhighermathematics.InhighermathematicsinequalityisusuallyprovedbyapplyingtheMonotonyofaFunction,CauchyInequality,MeanValueTheorem,TaylorFormula,JensenInequality,PropertiesofDefiniteIntegral,tozoominorouttheintegrand,variableupperlimitorlowerlimitandsoon.Thesemethodsareanalyzedindetailthroughexamples,andgiveitsrangeofapplication,concretestepsandrestrictedconditions.Amongthesemethods,theMonotonyofaFunctionandMeanValueTheoremarefoundationmethodsandtheothersshouldbemasteredconscientiouslyorareflexibleapplicationintheverification.keywords:inequalityintegralMeanValueTheorem数学世界中的量有相等关系，也有不等关系.一般与比较量有关的问题,都要用到不等式的知识.不等式问题不仅在数学领域有广泛的应用,而且在解决最优控制、最优化、经济等各种实际问题中也有广泛应用.它是研究和学习现代科学和技术的一个重要工具.由此可见,不等式问题的重要性,而不等式证明又是不等式问题的精髓,由于不等式的形式各不相同，所以证明没有固定的步骤可依，方法灵活，技巧多样，因此不等式证明是数学中的难点之一.证明不等式的方法有很多,在初等数学中主要有综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法、换元法等常用方法,但高等数学中的不等式证明又比初等数学中的不等式证明更为复杂,以上几种方法就很难解决高等数学中复杂的不等式问题.[1]本文结合课本所学内容及平时积累的资料总结了几种高等数学中不等式证明的常用方法.1.利用函数的单调性利用函数单调性证明不等式的步骤:(1)构造辅助函数f(x).(2)判断单调性:求f(x),并验证f(x)在指定区间上的增减性.(3)求出区间端点的函数值或极限值,比较后判断不等式.例1证明不等式e.e证明要证ee,只需证明eln,即只要证明令f(x)lnx1lnx(xe),则f(x)0.(xe)xx2lneln.e因为f(x)在e,上单调递减，又因为e,所以f(e)f(),即lneln，得证.e一般利用函数的单调性证明不等式需根据题目条件构造函数，此函数求导后可以很容易判断其在指定区间上的单调性，进而利用函数单调性证明不等式.[2]2．利用Cauchy(柯西)不等式柯西不等式在不等式理论中占有重要地位,这个不等式结构对称和谐,应用广泛,巧妙灵活的运用它,可以使有些比较困难的问题迎刃而解,它的推论有多种形式,在定积分中Schwarz不等式就是其中的一个推论.2.1柯西不等式(aibi)a2i1i1nn2ibi1n2i也可写作abi1niiab2ii1i1nn2i.2.2积分的形式当被积函数f(x),g(x)在区间a,b上连续,则有bbb2f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)2dx.aaa2例2已知f(x)0,在a,b上连续