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函数极限

第一篇：函数极限习题1.按定义证明下列极限:(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2xx251;(4)lim(3)lim2xx1x2(5)limcosx=cosx0xx04x2=0;2.根据定义2叙述limf(x)≠A.xx03.设limf(x)=A.,证明limf(x0+h)=A.xx0h04.证明:若limf(x)=A,则lim|f(x)|=|A|.当且仅当A为何值时反之也成立?xx0xx05.证明定理3.16.讨论下列函数在x0→0时的极限或左、右极限:(1)f(x)=xx;(2)f(x)=[x]2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.7.设limf(x)=A,证明limf(xxx01)=Ax8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)=0,x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0习题1．求下列极限：x21（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;x02x2x1x22x21x113x;lim(3)lim;(4)x12x2x1x0x22x3xn1(5)limm(n,m为正整数)；（6）limx1xx41（7）limx02x3x270；a2xa3x68x5.（a>0）;(8)limxx5x1902．利用敛性求极限：(1)limxxcosxxsinx;(2)lim2x0xx4xx03．设limf(x)=A,limg(x)=B.证明：xx0（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;xx0（2）lim[f(x)g(x)]=AB;xx0（3）limxx0f(x)A=(当B≠0时)g(x)B4．设a0xma1xm1am1xamf(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1b0xb1xbn1xbn试求limf(x)x5．设f(x)>0,limf(x)=A.证明xx0xx0limf(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0x07.设limf(x)=A,limg(x)=B.xx0xx0(1)若在某∪(x0)内有f(x)（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)>g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)limx0xx11lim;(2);nnx0x1xx1xxx2xnn(3)lim;(4)limx0x0x1x1x(5)limxx(提示：参照例1)xx0x0x09．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)=limf(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?x0x0x0习题1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcosx不存在.nn2.设f为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明:lim=f(x)存在的充要条件是f在n[a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;n(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsinx不存在.nn4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都nn存在,则所有这极限都相等.提示:参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=0xux00xun(x0)inff(x)6.设D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx07.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0x8.证明定理3.9习题1.求下列极限sin2xsinx3(1)lim;(2)limx0x0sinx2x(3)limxcosxxtanxsinxarctanxlim(5)lim;(6);3x0x0xxsin2xsin2a1(7)limxsin;(8)lim;xxaxxa;(4)limx0tanx;xcosx2(9)lim;(10)limx0x01cosxx11sin4x2.求下列极限12x(1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数);nx0xx(3)lim1tanxx0cotx;(4)lim1x;x01x(5)lim（x3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数)n