欧几里得证明勾股定理简化版.docx

欧几里得证明勾股定理简化版

第一篇：欧几里得证明勾股定理简化版欧几里得的证法设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在定理的证明中需要如下四个辅助定理：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等SAS。三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。其证明如下：1.AL⊥DE，分别与BC和DE直角相交于K、L。2.分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。3.AB＝FB,BC＝BD,∠ABC+∠ABF＝∠ABF+∠CBD4.因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。5.因为A与K和L在同一直线上，所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。同理正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。6.正方形面积BAGF=AB²，面积ACIH=AC²。7.把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC8.由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC=BC²9.由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²。第二篇：勾股定理证明勾股定理的历史及证明勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。（下图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形„矩'得到的一条直角边„勾'等于3，另一条直角边‟股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。【证法】（辛卜松证明）DD图一图二设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成图一所示的几个部分，则正方形ABCD2aba2b22ab；的面积为把正方形ABCD划分成图二所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为=2abc2.∴a2b22ab2abc2,∴a2b2c2.ab241abc22第三篇：证明勾股定理勾股定理的应用一、引言七年级上册的数学有讲到如何精确地画出根号2。老师说，要画一个2×2的，边长都为1的方格。然后在里面再做出一个菱形（表示方格面积的一半）。这个菱形的边长就是根号2。当时有人就埋怨方法的麻烦了，老师就回答用勾股定理会简便许多。还有印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；