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高中导数概念引入的教学研究

第一篇：高中导数概念引入的教学研究投稿日期：2015.2.3所投栏目：（高中版）课堂教学研究手机号码：***电子邮箱：[e-mail]高中导数概念引入的教学研究孙旋南京师范大学210000摘要：导数是微积分的核心概念，高中开设微积分课程具有多方面的价值和意义。新课标在导数概念的处理上有了大的变化，考虑到高中学生的认知水平要求不讲极限，但要求体会导数的思想及其内涵。极限思想与极限定义不同，极限思想在很早的时候就有了，而极限定义产生于解决微积分学的基本问题。高中导数蕴含着重要的极限思想，高中学生体会极限思想有利于之后微积分内容的学习。关键词：极限思想；瞬时速度；导数一、课程标准的要求全日制普通高中数学课程标准中导数概念及其几何意义的内容与要求是：“①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。”《课程标准解读》介绍了新课程对“导数及其应用”教学处理上的主要变化:1.突出导数概念的本质。以往教材在编排上从极限概念开始学习,学生对极限概念认识和理解的困难,影响了对导数本质的认识和理解。因此,课标在这部分的处理有了大的变化，不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限(增量比的极限)来处理,而是直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,认识和理解导数概念；同时加强对导数几何意义的认识和理解；2.强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢,研究函数的基本性质和优化问题中的应用,并通过与初等方法比较,感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。二、导数概念的内涵高等数学中导数的定义是：函数y=f（x）在x的某邻域U（x，δ）中有定义，自变量在点x处获得一个增量△x，相应地，函数y获得增量△y=f（x+△x）-f（x）。考虑极限式子limy，如果该极限存在，我们就称该极限x0xdy为函数y=f（x）在x处的导数，记作f′（x）或dx。函数的导数如果像这样依托于极限进行定义，没有具体的问题，高中生很难知道求导数到底是在干什么。苏教版教材中导数的定义是：设函数yf(x)在区间（a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近于0时，比值yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个xx常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数在xx0处的导数，记作f'(x0)。人教版教材中导数的定义是：一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化limylimf(x0x)f(x0)率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处x0xx0x的导数，记作f'(x0)或y'xx0即f'(x0)=limylimf(x0x)f(x0).x0xx0x但当与实际问题结合起来是，导数的内涵就清晰了，导数在一些具体问题中的意义诠释如下：s(1)运动学中，对象函数为S＝S（t），S表示位移，t表示时间，则t表示一段时内的平均速度。再进一步，我们容易意识到S'(t)对应着t时刻物体的瞬时速度v（t）。类似地，我们也能意识到V'(t)对应着t时刻物体的瞬时加速度a（t）。(2)几何中，y=f（x）图像曲线上有定点M（x，f（x））及动点N（x+△x，f（x+△x）），N的运动由自变量增量△x控制。显然，y表示弦MN所在直x线的斜率，进一步我们容易意识到，当动点N沿函数图像曲线不断靠近M时，MN所在直线就越来越接近图像曲线在点M处的切线了，自然f'(x)表示的应是点M（x，f（x））处切线的斜率。导数及其应用属于高中选修内容，此时学生已经在高一年级阶段学习了瞬时速度、平均速度和加速度等物理知识，结合瞬时速度引入导数概念可以帮助学生正确理解导数的内涵。导数的几何意义重要性突出，是导数从数到形的桥梁，让学生感受变化率和斜率的内在联系。由此可见，高中导数概念不仅具有标准化的数学语言描述，而且结合实际问题体现了其教学价值，成功地将高等数学知识下放到高中数学中。三、极限思想在教材中的体现及重要性新课标明确要求高中导数概念的引入不再先进行极限的教学，要让学生通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。从教材的内容安排来分析，苏教版已经将极限相关内容删除，但在导数定义中含有“无限趋近于”一词，这正是极限思想的体现。而人教版教材的选修Ⅰ和选修Ⅱ中考虑到文理科学生的差别在导数概念的引入上差异较大，但定义中仍然都存在极限一词。苏教版教材选修1-1和选修2-2中导数的概念是通过具有实际背景的生活实例，先让学生理解平均变化率是近似地刻画了