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高二数学不等式的证明6

第一篇：高二数学不等式的证明66.3不等式的证明（六）教学要求：更进一步掌握不等式的性质，能熟练运用不等式的证明方法：比较法、综合法、分析法，还掌握其他方法：放缩法、判别式法、换元法等。教学重点：熟练运用。教学过程：一、复习准备：1.已知x≥4，求证：x1－x2解法：分析法，先移项再平方。推广：求x1－x2的单调性、值域。2.a、b∈R且a＋b＝1，求证：2a3＋2b3≤4（四种解法：估值配项；柯西不等式；均值不等式；分析法）二、讲授新课：1.教学典型习题：①出示典型习题：（先不给出方法）22Ⅰ.放缩法证明：x、y、z∈R，求证：xxyy＋y2yzz2>x＋y＋z1x2x1Ⅱ.用判别式法证明：已知x∈R，求证≤2≤3（另解：拆分法）3xx1Ⅲ.用换元法证明：已知a＋b＝4,求证：2≤a±ab＋b≤6②先讨论用什么方法证明，再引导老师分析总结解题思路，学生试按思路练习：Ⅰ.放缩法，左边>(x2222y2y)＋(z)2＝…22x2x1Ⅱ.判别式法，设2＝k，再整理成一元二次方程，利用△≥0而求k范围。xx1Ⅲ.三角换元法，设a＝2sinθ，b＝2cosθ，再代入利用三角函数值域求证。③再讨论其它解法：Ⅲ小题，可由已知得到|ab|的范围，再得到待证式。2.练习：①已知x、y∈R，3x＋4y＝12，求xy的最大值；②求函数y＝x＋21的值域；（解法：分x－1>0、x－1三、巩固练习：1.设n>1且n∈N，求证：log(n1)(n＋2)>log(n2)(n＋3)2.课堂作业：书P312、5题。（作商比）第二篇：高二数学不等式的证明高二数学不等式的证明(二)[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：1.换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。2.放缩法：理论依据：a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。3.反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，证明格式[反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得到假设不正确，原命题正确。4.数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。证明格式：(1)当n=n0时，命题成立；(2)假设当n=k时命题成立；则当n=k+1时，证明出命题也成立。由(1)(2)知：原命题都成立。[本周教学例题]一、换元法：1.三角换元：例1.求证：证一：(综合法)即：证二：(换元法)∵-1≤x≤1∴令x=cos,[0,π]则∵-1≤sin2≤1例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。证一：证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设则例3.若x2+y2≤1，求证：证：设则例4.若x>1，y>1，求证：证：设则例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设则小结：若0≤x≤1，则可令若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ若x≥1，则可令2.代数换元：，若xR，则可令例6：证明：若a>0，则证：设则即∴原式成立小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。二、放缩法：例7.若a,b,c,dR+，求证：证：记∵a,b,c,dR+∴1例8.当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)证：∵n>2∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)例9.求证：证：三.反证法例10.设0证：设则三式相乘：①又∵0同理：以上三式相乘：∴原式成立与①矛盾例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0证：设a0，∴bc又由a+b+c>0，则b+c=-a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0同理可证：b>0，c>0四.构造法：1.构造函数法例12.已知x>0，求证：证：构造函数由显然∴上式>0∴f(x)在上单调递增，∴左边例13.求证：证：设用定义法可证：f(t)在上单调递增，令：3≤t1例14.已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0则有两个实根。例15.求证：证：设当y=1时，命题显然成立，当y≠1时，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0综上所述，原式成立。(此法也称判