高数8多元函数的极限与连续.docx

高数8多元函数的极限与连续

第一篇：高数8多元函数的极限与连续二元函数的极限二元极限存在常用夹逼准则证明例1lim(3x2y)14x2y1211xsinysin，xy0，例2函数f(x,y)在原点（0,0）的极限是0.yxxy0.0二元极限不存在常取路径x2y例3证明：函数f(x，y)4在原点（0，0)不存在极限.((x，y)（0，0））4xy与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等.证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限limf(x，y)是两个自变量x与y分别独立以任意方式无限趋近于xx0yy0x0与y0.这是个二重极限.二元函数还有一种极限：累次极限定义若当xa时（y看做常数），函数f(x，y)存在极限，设当yb时，(y)也存在极限，设lim(y)limlimf(x，y)B，ybybxa则称B是函数f(x，y)在点P(a，b)的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即limlimf(x，y)C.xayb那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系.例如：1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在.如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在.如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系定理若函数f(x，y)在点P0(x0，y0）的二重极限与累次极限（首先y0，其次x0）都存在，则limlimf(x，y).limf(x，y）xx0yy0xx0yy0二元函数的连续性定理若二元函数f(P)与gP在点P0连续，则函数f(P)g(P)，f(P)g(P)，（g(P0)0）都在点P0连续f(P)g(P)定理若二元函数u(x，y)，v(x，y)在点P0(x0，y0)连续，并且二元函数f(u，v)在点(u0，v0)(x0，y0)，(x0，y0)连续，则复合函数f(x0，y0)，(x0，y0)在点P0(x0，y0)连续.1.用极限定义证明下列极限：1)lim(4x3y)19；2）lim(xy)sinx2y12x0y011sin0；xyx2y2xy03）lim2.(提示：应用1.）22x0xy2xyy02.证明：若f(x，y)xy，(xy0)，则xyy0x0limlimf(x，y)1与limlimf(x，y)1.x0y0x4y43.设函数f(x，y)4，证明：当点(x，y)沿通过原点的任意直线(ymx)趋23(xy)于（0,0）时，函数f(x，y)存在极限，且极限相等.但是，此函数在原点不存在极限.（提示：在抛物线yx上讨论.)2x2y22D(x，y)yx4.若将函数f(x，y)2限制在区域，则函数f(x，y)在原点2xy（0，0）存在极限（关于D).5.求下列极限：1）limxysinxy；2）；limx1x2xyy2x0xy2y422x0y03）lim(xy)In(xy)；（提示：设xrcos，yrsin）4）limx0y0(14x2)(16y2)12x23y2.第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)a，则f(x)在x0处必有定义（）xx012x（3）极限lim2sinxlimx0（）xx33x2，选择题（1）当x0时，无穷小量1x1x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小x11x0（2）设函数f(x)，则x0是f(x)的（）x0x0A.可去间断点B.无穷间断点C连续点D跳跃间断点exx0（3）设函数f(x)，要使f(x)在x0处连续，则a（）axx0A.2B1C0D13n25n1（）（4）lim2n6n3n2A151BCD2321xsinx0x(5)设f(x)，则在x0处f(x)（）1sinx1x0xA有定义B有极限C连续D左连续3(6)x1是函数yx1的（）x1A可去间断点B无穷间断点C连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limxxsinxsin(2x)x23（2）lim（3）limx0x12xln(12x)x1e2x1（4）lim（5）limn[ln(1n)lnn]（6）lim(sinn1sinn)nnx0x2x3x2(sinx3)tanx2lim()(7)lim(8)（9）limx(x1x)x2