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高等代数教案第一章基本概念

第一篇：高等代数教案第一章基本概念第一章一综述基本概念1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二重点、难点1.重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2.难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1集合一教学思考1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二重点、要求1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三教学过程1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A、B、C表示集合,用小写字母a、b、c表示集合的元素.若a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA,或者说A包含a.若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,或者说A不包含a.常采用两种方法：（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如A1,2,3,.（2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如Bx|x3x40表示方程2x23x40的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用表示.约定：是任何集合的子集.3．集合间的关系：（1）设A、B是两个集合.“xAxB”）子集：若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集（即若..记作AB如：f:RR,xx;g:RR,x2．映射的合成x2.有fg.（1）定义3.设f:AB,g:BC是两个映射,对xA,有f(x)B,从而g(f(x))C,这样,对xA,就有C中唯一的g(f(x))与之对应,就得到A到C的一个映射,这个映射是由f:AB和g:BC所决定的,称为f与g的合成.记作gf.即：gf:AC,xg(f(x)).例子：f:RR,xx2;g:RR,xsinx.则gf:RR,xsinx2;fg:RR,xsin2x.（2）映射合成满足结合律：设f:AB,g:BC,h:CD,则由合成映射的定义可得AD的两个映射：h(gf),(hg)f,则h(gf)(hg)f.3．几类特殊映射定义4.设f:AB,对xA,有f(x)B,则所有这样的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)f(x)|xA,叫做A在f下的象,或叫做映射f的象.（1）满射:定义5.设f:AB是一映射,若f(A)B,则称f是A到B上的一个映射,也称f是一个满射.（2）单射:定义6.设f:AB是一个映射,若对x1,x2A,只要x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f是A到B的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7.若f:AB既是单射又是满射,即1）若f(x1)f(x2)x1x2,x1,x2A；2）f(A)B.则称f是A到B的一个双射.特别若f是A到A上的一个1-1对应,就称f为A的一个一一变换；有限集A到自身的双射称为A的一个置换.如：jA是A的一个一一变换,同样jB是B的一个一一变换.由映射合成及相等：若f:AB,则有fjAf,jBff.TH1.2.1令f:AB是一个映射,则：下述两条等价：1）f是双射；2）存在g:BA使得gfjA,fgjB.且2）成立时,其中的g由f唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射定义8.设f:AB,若存在g:BA,使得gfjA,f