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高等数学微积分求极限的方法整理

第一篇：高等数学微积分求极限的方法整理一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。6运用重要极限求极限（基本）。7乘除法中用等价无穷小量求极限。8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。9常数比0型求极限：先求倒数的极限。10根号套根号型：约分，注意别约错了。11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置2）用无穷小量与有界变量的乘积3）2个重要极限4）分式解法（上述）第二篇：高等数学B上册求极限方法总结锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。出自----荀子----《劝学》求极限的几种常用方法1．约去零因子求极限例1：求极限limx1x41x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。x1x1x212【解】lim=limx1x1=4x1x1x12．分子分母同除求极限例2：求极限limxx3x233x1型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。1132xx1【解】limlimx3x31x1333x【说明】【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；0m>nanxnan1xn1...a0manm=nbn3．分子(母)有理化求极限例3：求极限limxx322x21【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】limxx3x21limxx23x21x23x21x23x21lim2x3x1x0例4：求极限limx0tanxsinxx3【解】limx0tanxsinxtanxsinx=limx0x3x3tanxsinx=limx01tanxsinx1tanxsinx1=limlim33x0x0x2x4tanxsinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4.应用两个重要极限求极限两个重要的极限（1）limsinx1x0xxn11（2）lim1lim1lim1xxexxx0xn在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。x1例5：求极限limxx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑+x，最后凑指数部分。xx11xx2122x11【解】lime2=lim1lim1xx1xx1x1xx12补：求下列函数的极限(1)limlimcoscosn0nx2xxxcos......cos22232nn2(2)（2）lim12mmm5.利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果limfx0，gx在x0某区间x,xx,x有界，则limfxgx0。这种方法可以处理一个函数不存x0在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。0xx【解】因为sinx1lim6.用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1x~e1，x1cosx~12bx，1ax1~abx2(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。xln1xx01cosxxln1xxx【解】limlim2x01cosxx02x2sinxx例8：求极限limx0