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高等数学B上册求极限方法总结

第一篇：高等数学B上册求极限方法总结锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。出自----荀子----《劝学》求极限的几种常用方法1．约去零因子求极限例1：求极限limx1x41x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。x1x1x212【解】lim=limx1x1=4x1x1x12．分子分母同除求极限例2：求极限limxx3x233x1型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。1132xx1【解】limlimx3x31x1333x【说明】【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；0m>nanxnan1xn1...a0manm=nbn3．分子(母)有理化求极限例3：求极限limxx322x21【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】limxx3x21limxx23x21x23x21x23x21lim2x3x1x0例4：求极限limx0tanxsinxx3【解】limx0tanxsinxtanxsinx=limx0x3x3tanxsinx=limx01tanxsinx1tanxsinx1=limlim33x0x0x2x4tanxsinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4.应用两个重要极限求极限两个重要的极限（1）limsinx1x0xxn11（2）lim1lim1lim1xxexxx0xn在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。x1例5：求极限limxx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑+x，最后凑指数部分。xx11xx2122x11【解】lime2=lim1lim1xx1xx1x1xx12补：求下列函数的极限(1)limlimcoscosn0nx2xxxcos......cos22232nn2(2)（2）lim12mmm5.利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果limfx0，gx在x0某区间x,xx,x有界，则limfxgx0。这种方法可以处理一个函数不存x0在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。0xx【解】因为sinx1lim6.用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1x~e1，x1cosx~12bx，1ax1~abx2(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。xln1xx01cosxxln1xxx【解】limlim2x01cosxx02x2sinxx例8：求极限limx0tan3x例7：lim12xsinxxsinxxcosx11【解】lim=limlimlimx0tan3xx0x0x03x2x33x267.利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。如果ugx在点x0处连续gx0u0，而fu在点x0处连续，那么复合函数yfgx在点x0处连续。limfgx=fgx0=xx0flimgx也就说，极限号lim与f可以互换顺序。xx0xx01例9：求limln1xx1【解】令ylnu,u1x1因为lnu在点u0lim1e处连续xx1所以limln1xxxxxx1x=lnlim1xx=lne=18．用洛必达法则求极限洛必达法则只能对0或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，0f'xfx等于A时，那么lim存g'xgx然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在lim在且等于A。如果limf'xfx不存在时，并不能断定lim也不存在，这是不能用洛必达g'xgxfx。gx法则的，而须用其他方法讨论limlncos2xln1sin2x例10