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高等数学讲义-无穷级数（数学一和数学三）

高等数学讲义--无穷级数(数学一和数学三)第八章无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”第一种0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ第二种1)11()11()11(1=-------ΛΛ第三种设Sn=+-++-+-+ΛΛ1)1(1111则[]S=+-+--Λ11111,1SS=-,12=S1=S这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。1)什么是无穷多项相加？如何考虑？2)无穷多项相加，是否一定有“和”？3)无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。§8.1常数项级数（甲）内容要点一、基本概念与性质1.基本概念无穷多个数ΛΛ，，,321nuuuu依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞=nnnuuuuu3211称为数项级数（简称级数）。∑===nkknuS123nuuuu++++L（Λ,3,2,1=n）称为级数的前n项的部分和，{}),3,2,1(Λ=nSn称为部分和数列。SuS，uS，Snnnnnn==∑∑∞=∞=∞→11)(lim记以且其和为是收敛的则称级数存在若nnS∞→lim若不存在，则称级数∑∞=1nnu是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）2．基本性质（1）如果∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=++11)(,nnnnnnnnnnnvbua，bvau，b，avu且等于收敛则为常数皆收敛和（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4）级数∑∞=1nnu收敛的必要条件是0lim=∞→nnu（注：引言中提到的级数∑∞=+-11,)1(nn具有∞→nlim()不存在11+-n，因此收敛级数的必要条件不满足，∑∞=1n()1+-n发散。调和级数∑∞=1nn1满足∞→nlim但,01=n∑∞=1nn1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞→nlim0=nu，而∑∞=1nnu收敛性尚不能确定。）3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）∑∞=0nnar()0≠a当1∑∞=0nnarra-=1收敛当1≥r时，∑∞=0nnar发散（2）p一级数∑∞=11npn当p>1时，∑∞=11npn收敛，当p≤1时∑∞=11npn发散（注：p>1时，∑∞=11npn的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞=1n6122π=n）二、正项级数敛散性的判别法()Λ,3,2,10=≥nun若则∑∞=1nnu称为正项级数，这时(){}nnnSnSS所以Λ,3,2,11=≥+是单调加数列，它是否收敛就只取决于nS是否有上界，因此∑∞=1nnnSu?收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。1.比较判别法如果皆成立时当设，u，cvNncnn0,0>≥≥>∑∞=1nnv收敛，则∑∞=1nnu收敛；如果∑∞=1nnu发散，则∑∞=1nnv发散。2.比较判别法的极限形式设),3,2,1(,0,0Λ=≥≥nvunn若∞→nlimAvunn=1)当0∑∞=1nnu与∑∞=1nnv同时收敛或同时发散。2)当A=0时，若∑∞=1nnv收敛，则∑∞=1nnu收敛。3)当A=+∞时，若∑∞=1nnu收敛，则∑∞=1nnv收敛。3．比值判别法（达朗倍尔）设nu>0，而∞→nlimρ=+nnuu1）当ρ∑∞=1nnu收敛2）当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞=1nnu发散3）当ρ=1时，此判别法无效（注：如果∞→nlimnnuu+不存在时，此判别法也无法用）4．根值判别法（柯西）设nu≥0，而∞→nlimρ=nnu1）当ρ∑∞=1nnu收敛2）当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞=1nnu发散3）当ρ=1时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法1．交错级数概念若nu>0,∑∞=1nnnu1)1(+-称为交错级数。2．莱布尼兹判别法设交错级数∑∞=1nnnu1)1(+-满足：1）≤+1nunu),3,2,1(Λ=n2)∞→nlimnu=0，则∑∞=1nnnu1)1(+-收敛，且0=1nnnu1)1