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高等数学中不等式的证明方法

第一篇：高等数学中不等式的证明方法高等数学中不等式的证明方法摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理Abstract:Avarietyofinequalityisthevariousformsofhigh-volumeandvariablecomparisonbetweentherelationshiporconstraints.Therefore,InequalityisnaturaltobeaveryimportanttoolinAnalysisofdiscretemathematicsandvariousbran（毕业论文参考网原创论文）chesofmathematics.Ithasbeenaspecialstudy.Todaytherearealargenumberofinequalitiesinhighermathematics.ThispaperintroducesthefollowingmethodsaboutProofofInequality,suchastheusingofseveralgeneralmethods,researchingmonotonefunctionbyderivative,usingextremeorthemostvalueandIntegralMeanValueTheorem.Wecanresolvetheproblemsidentifiedthroughthesemethods.ItcanbringupourinnovativespiritandthinkingandsomedifficulttopicsmaybemoreeasyandConvenient,Keyword:HigherMathematics;Inequality;ExtremevalueMonotonicity;IntegralMeanValueTheorem文章来自：全刊杂志赏析网(qkzz.net)原文地址：http://qkzz.net/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西施瓦茨；凹凸性在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。1中值定理定理法利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。例1设e4e2(b-a)。解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，ae时，φ′(x)φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x例2设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。若f(c)2利用辅助函数的单调性证明辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零