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高等数学上册复习

第一篇：高等数学上册复习第一章复习提要第一节映射与函数1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例2、注意无界函数的概念3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）第二节数列的极限会判断数列的敛散性第三节函数的极限1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。（重要）2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。（重要）3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。第四节无穷大和无穷小1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)Af(x)A，其中是无穷小。xx0x2、无穷大和无穷小是倒数关系3、铅直渐近线的概念（p41）,会求函数的铅直渐近线4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态第五节极限的运算法则1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。以乘法为例比如f(x)x,g(x)但是limf(x)g(x)1x01。limf(x)0，limg(x)。xx0x02、会求有理分式函数p(x)的极限（P47例3-例7）（重要）q(x)xx0时:若分母q(x0)0，则极限为函数值0型极限，约去公因子0若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1））x时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。第六节极限存在的准则，两个重要极限（重要）1、利用夹逼准则求极限：例p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）1sinxsinx0；lim13注意下面几个极限：limxsin0；limx0xx0xxx第七节无穷小的比较（重要）1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k阶还是等价穷小）若分子和分母同时为零，则为x22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x；1cosx~2ex1~x；(1x)~1nxn13、若(x)为无穷小，则sin(x)~(x)，(1(x))n~(x)n，ln(1(x))~(x)，e(x)1~(x)。4、替换无穷小时必须是因式x0limtanxsinxx3limxx3x0x0应该x2xtanxsinxtanx(1cosx)1limlimlim22x0x0x0x3x3x35、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）第八节函数的连续性与间断点（重要）1、函数在点x0连续limf(x)f(x0)xx0左连续limf(x)f(x0)且xx0f(x)f(x0)右连续limxx02、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。3、f(x)在点a连续f(x)在点a连续；但反之不对。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。4.注意三个例题：例6-例8（重要）5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求。（重要）6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。（重要）7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页6）（重要）第十节闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容会零点定理证明方程根的存在性。（重要）补充说明请熟悉函数e当x0,x0,x时的极限。第二章复习提要1、导数的定义（1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题例1、设f(0)0,f(0)k0,则limf(x)____.x0x1x例2、设f(x0)存在，则limf(x0h)f(x0)________.（重要）hh0（2）利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题sinx,x0例3、已知f(x)，求f(x)x,x0注意分点处的导数应该用定义来求。（重要）（3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题（重要）sinx,x0例4、设f(x)为可导的，求a的值ax,x0（4）利用导数几何意义求切线和法线方程（重要）（5）可导连续，反之不成立！2、求导法则（1）复合函数求导不要掉项；（2）幂指函数u(x)v(x)ev(x)lnu(x)转化成指数来求导3、高阶导数（1）一般的函数求到2阶即可；（2）几个初等函数的n阶导数：(eax)(n)aneax；y(n)sin(xn)；(cosx)(n)cos(xn)22[ln(1x)](n)(1)n1(n1)!(1x)n，(n1)!(1x)n[ln(1x