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高等数学极限方法总结（5篇范例）

第一篇：高等数学极限方法总结摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、英文题目LimitmethodssummarizeAbstract:Themethodofsequencelimithasbeenintheseriesamoreimportantproblems,thispapersummedupfromdifferentaspectsandafewofitslistingisalsogiven.Keywords:Highermathematics,sequencelimit,definition,losthanamountingtolaw，一.引言高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。二.研究问题及成果一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：blim(3x1)5lim0(a,b为常数且a0)；；x2nan0，当|q|1时limqn；等等n（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)AB（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B当|q|1时不存在，说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）limx0sinxx2(11)xe(1x)e；lim（2）limxxx01x说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。一定注意两个重要极限成立的条件。sin3x3lim1，lim(12x)2xe，lim(1)3e；等等。例如：x0xxx03x1x4．洛比达法则定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价关系成立，例如：当x0时，e3x21～3x；ln(1x2)～x。定理4如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当limxx0f1(x)f(x)lim存在时，xx也存在且0g(x)g1(x)lim等于f(x)xx0f1(x)f(x)f(x)lim1lim，即x=。xxx00g(x)g1(x)g1(x)5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；（3）limf(x)存在（或是无穷大）；g(x)f(x)f(x)=lim。g(x)g(x)f(x)f(x)il则极限lim也一定存在，且等于lim，即mg(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间