高考数学专题：导数的综合运用高考题答案.docx

高考数学专题：导数的综合运用高考题答案

导数的综合运用高考题26．【解析】(1)的定义域为，．（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减．（ii）若，令得，或．当时，；当时，．所以在，单调递减，在单调递增．(2)由(1)知，存在两个极值点当且仅当．由于的两个极值点，满足，所以，不妨设，则．由于，所以等价于．设函数，由(1)知，在单调递减，又，从而当时，．所以，即．27．【解析】(1)当时，等价于．设函数，则．当时，所以在单调递减．而，故当时，即．(2)设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由(1)知，当时，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．28．【解析】(1)当时，．设函数，则．当时，；当时，．故当时，且仅当时，从而，且仅当时，．所以在单调递增．又，故当时，；当时，．(2)（i）若，由(1)知，当时，这与是的极大值点矛盾．（ii）若，设函数．由于当时，故与符号相同．又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点．．如果，则当，且时，故不是的极大值点．如果，则存在根，故当，且时，所以不是的极大值点．如果，则．则当时，；当时，．所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，．29．【解析】(1)因为，所以（）=．．由题设知，即，解得．此时．所以的值为1．(2)由(1)得．若，则当时，；当时，．所以在处取得极小值．若，则当时，，所以．所以2不是的极小值点．综上可知，的取值范围是．30．【解析】(1)由已知，有．令，解得．由，可知当变化时，的变化情况如下表：00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为．(2)证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为．由，可得曲线在点处的切线斜率为．因为这两条切线平行，故有，即．两边取以a为底的对数，得，所以．(3)证明：曲线在点处的切线：．曲线在点处的切线：．要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得l1和l2重合．即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得．③因此，只需证明当时，关于的方程③有实数解．设函数，即要证明当时，函数存在零点．，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的，且，使得，即．由此可得在上单调递增，在上单调递减．在处取得极大值．因为，故，所以．下面证明存在实数，使得．由(1)可得，当时，有，所以存在实数，使得因此，当时，存在，使得．所以，当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．31．【解析】(1)函数，则，．由且，得，此方程组无解，因此，与不存在“点”．(2)函数，则．设为与的“点”，由且，得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为与的“点”．因此，的值为．(3)对任意，设．因为，且的图象是不间断的，所以存在，使得．令，则．函数，则．由且，得，即，（**）此时，满足方程组（**），即是函数与在区间内的一个“点”．因此，对任意，存在，使函数与在区间内存在“点”．32．【解析】(1)函数的导函数，由得，因为，所以．由基本不等式得．因为，所以．由题意得．设，则，所以0+所以在上单调递增，故，即．(2)令，则，所以，存在使，所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点．由得．设，则，其中．由(1)可知，又，故，所以，即函数在上单调递减，因此方程至多1个实根．综上，当时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点．33．【解析】（1）的定义域为，（ⅰ）若，则，所以在单调递减．（ⅱ）若，则由得．当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增．（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点．（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，即．又，故在有一个零点．设正整数满足，则．由于，因此在有一个零点．综上，的取值范围为．34．【解析】（1）的定义域为．设，则，等价于．因为，故，而，得．若，则．当时，单调递减；当时，单调递增．所以是的极小值点，故．综上，．（2）由（1）知，．设，则．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，．因此，所以是的唯一极大值点．由得，故．由得，．因为是在的最大值点，由，得．所以．35．【解析】（1）的定义域为．①若，因为，所以不满足题意；②若，由知，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增，故是在的唯一最小值点．由于，所以当且仅当a=1时，．故a=1．（2）由（1）知当时，令得，从而故而，所以m的最小值为3．36．【解析】（Ⅰ）因为，所以（Ⅱ）由解得或．因为x（，1）（1，）（，）0+0↘0↗↘又，