专题13 全等三角形模型之半角模型和边边角模型-解析版-2025数学常考压轴题上册八年级沪科版.docx

专题13全等三角形模型之
半角模型和边边角模型
目录
TOC\o"1-3"\h\z\uHYPERLINK\l"_Toc181199207"解题知识必备 PAGEREF_Toc181199207\h1
HYPERLINK\l"_Toc181199208"压轴题型讲练 PAGEREF_Toc181199208\h3
HYPERLINK\l"_Toc181199209"类型一、半角模型 PAGEREF_Toc181199209\h3
HYPERLINK\l"_Toc181199210"类型二、边边角模型 PAGEREF_Toc181199210\h19
HYPERLINK\l"_Toc181199211"压轴能力测评 PAGEREF_Toc181199211\h27


模型七、半角全等模型
【模型分析】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型】

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
模型八、边边角模型（胖瘦模型）
【条件】如图，AB=AC，点P在线段BC上（P不是线段BC的中点）
胖瘦模型——两条边对应相等，一组角对应相等，两个角互补

分析：△APB与△APC并不全等
AB＝AC2条边对应相等
AP＝AP1个角相等胖瘦模型
∠B＝∠C2个角互补
∠APC＋∠APC＝180°
◎结论1：（变胖）如图，△ABQ≌△ACP,AP=AQ

◎结论2：（变瘦）如图，△ABP≌△ACQ,AP=AQ

◎结论3：（找中间状态）如图，△ABM≌△ACM

类型一、半角模型
例．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为．

【答案】2
【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题．
【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF，

∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，
∴△ADG≌△CDF（SAS），
∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，
∵DE＝DE，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴GE＝EF，
∵F是BC的中点，
∴AG=CF=BF=3，
设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3，
由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2，
∴AE＝2，
∴DE＝，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键．
【变式训练1】．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为．

【答案】5
【分析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：由旋转的性质可知：，，，
，
点在的延长线上，
四边形为正方形，
．
又，
．
．
．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长．
【变式训练2】．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．

【答案】4+4．
【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD+DC，代入求出即可．
【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，
∵∠BAC＝∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝1