专题53 一次函数背景下的搭桥模型（解析版）-2025《初中数学》74大招专题突破.docx

模型介绍

方法点拨
二、求线段之和的最小值
已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：
过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点.

（2）点A、B在直线m同侧：

过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点.
例题精讲

【例1】．如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为（，）．

解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）
连接A'B'交直线y＝x于点Q
如图

理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，
∴四边形APQA'是平行四边形．
∴AP＝A'Q．
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝．
∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小．
根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小．
∵B'（0，1），A'（2，0），
∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1．
∴x＝﹣x+1．即x＝，
∴Q点坐标（，）．
故答案是：（，）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）

A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）
解：如图，将点E（8，2）往左平移2个单位得到F（6，2），则EF＝2＝PQ，EF∥PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形，
∴FP＝QE，
作点F关于x轴的对称点F'，连接PF'，
则PF'＝PF，F'（6，﹣2），
∴当点A、P、F在同一直线上上时，AP+PF'最小，
即AP+EQ最小，
∵A（0，4），F'（6，﹣2），
∴直线AF'解析式：y＝﹣x+4，
∴P（4，0），
故选：C．
【变1-2】．A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．
（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．
（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC＝40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来．

解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．
（2）作MH⊥BC垂足为H．
两村A、B之间的最短路程＝AN+KN+BK，
∵四边形AMKN是平行四边形，
∴AN＝MK，
在RT△BMH中，∵BH＝70，MH＝40，
∴BM＝＝10，
∴AN+KN+BK＝BM+KN＝10+30，
∴两村的最短路程为（10+30）米．

【例2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为（﹣4，4）．

解：BP+PH+HQ有最小值，
理由是：∵直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，
∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，
连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，

∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB＝CH，
∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是△BQM的中位线，
∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8，
∴Q（﹣12，﹣8），
设直线CQ的关系式为：y＝kx+b，
将C（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分别代入上式得：
，
解得：，
∴直线CQ的关系式为：y＝x+4，
令y＝0得：x＝﹣4，
∴H（﹣4，0），
∵PH∥y轴，
∴P（﹣4，4），
故答案为：（﹣4，4）．
变式训练
【变2-1】．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于点A，B，Q为△AOB内部一点，则AQ+OQ+BQ的最小值等于（）

A．2 B． C． D．
解：∵直线y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于点A，B，
当x＝0时，y＝；当y＝0时，x＝1；
∴OB＝，OA＝1，
∴AB＝＝＝2，
∴∠OBA＝30°，∠OA